二元二次式：配方、非负性与最值

二元二次式的许多最值问题只需配方和一元二次函数。系数退化时可能出现整条直线上的最小值，不能一律假定只有一个最小值点。

二次齐次式的非负判据

设 $Q(x,y)=Ax^2+2Bxy+Cy^2$ 。当 $A>0$ 时，

Q=A\left(x+\frac BAy\right)^2+\frac{AC-B^2}{A}y^2.

因此 $Q$ 对所有实数 $x,y$ 非负，当且仅当 $A\ge0,C\ge0,AC-B^2\ge0$ 。必要性中 $A,C\ge0$ 来自分别令一变量为零；当 $A=0$ 时，若 $B\ne0$ ，固定非零 $y$ 后改变 $x$ 可使表达式为负，所以必须 $B=0$ 。

若要求除原点外恒正，则等价于 $A>0,AC-B^2>0$ 。当 $A>0,AC-B^2=0$ 时，零值点构成直线 $Ax+By=0$ ，不能称为只在原点取零。

考虑 $F=Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F_0$ ，先设 $A>0$ 。令

K=C-\frac{B^2}A,\qquad L=E-\frac{BD}A,

则

F=A\left(x+\frac{By+D}A\right)^2+Ky^2+2Ly+F_0-\frac{D^2}A.

若 $K>0$ ，继续配方得最小值 $F_0-D^2/A-L^2/K$ ，唯一取到点为 $y=-L/K$ 、 $x=-(By+D)/A$ 。

若 $K=0,L=0$ ，最小值为 $F_0-D^2/A$ ，在整条直线 $Ax+By+D=0$ 上取到。若 $K<0$ ，或 $K=0,L\ne0$ ，令第一个平方项为零，再改变 $y$ ，就能使 $F$ 任意小，因而无下界。

若 $A=0$ 而 $C>0$ ，交换变量。若 $A=C=0$ ，原式含非零交叉项或非零一次项时无下界；所有这些系数都为零时为常函数。若 $A<0$ 或 $C<0$ ，固定另一变量为零即可看出无下界。

对于

F(x,y)=2x^2-4xy+8y^2-4x-4y+1,

配方得到

F=2(x-y-1)^2+6(y-2/3)^2-11/3.

故最小值为 $-11/3$ ，且只在 $(x,y)=(5/3,2/3)$ 取到。两个平方项必须同时为零，不能只分别找到各自最小值而不检查是否能同时实现。

若题目增加约束，例如 $x,y$ 必须为整数或属于某个区间，以上无约束取等点未必合法；应在约束下继续求最值。

若实数 $a,b$ 满足 $(a^2+4)(b^2+1)=5(2ab-1)$ ，移项配方得

(ab-3)^2+(a-2b)^2=0.

两项非负，所以 $ab=3$ 、 $a=2b$ 。于是 $(a,b)$ 为 $(\sqrt6,\sqrt6/2)$ 或 $(-\sqrt6,-\sqrt6/2)$ 。即使只求 $b(a+1/a)$ ，也不应在中间漏去负号分支；由 $ab=3,b/a=1/2$ ，两组都给出 $7/2$ 。

平方和为零只对实平方直接成立。复数中 $1^2+i^2=0$ ，两项并不分别为零。

在 $x^2+y^2=1$ 上，设 $x=\cos t,y=\sin t$ ，则

Ax^2+2Bxy+Cy^2=\frac{A+C}2+\frac{A-C}2\cos2t+B\sin2t.

因此最小、最大值分别为

\frac{A+C-\sqrt{(A-C)^2+4B^2}}2,\qquad \frac{A+C+\sqrt{(A-C)^2+4B^2}}2.

这来自辅助角公式；当振幅为零时表达式为常数。圆半径为 $r$ 时，齐次二次式的最值整体乘以 $r^2$ 。

例如 $x^2+y^2=1$ 时， $4x^2-5xy+4y^2$ 的范围为 $[3/2,13/2]$ 。相应地，若 $4x^2-5xy+4y^2=19$ ，则 $x^2+y^2$ 的范围为 $[38/13,38/3]$ ，两端分别由 $x=-y$ 与 $x=y$ 取得。