直线系、圆系与切点弦

过固定交点的直线系

若不同直线 $L_1=a_1x+b_1y+c_1=0$ 与 $L_2=a_2x+b_2y+c_2=0$ 交于一点 $P$，则

给出过 $P$ 的所有直线。共同点显然满足组合方程；反过来，两条相交直线的法向量不平行，可用它们线性表示任意直线法向量，再由过 $P$ 确定常数项。

只写 $L_1+tL_2=0$ 通常遗漏 $L_2=0$。若原两线平行，则某些组合会把一次项消掉，产生无解的常数方程；不能一概说每个参数都是直线。

平行直线的组合与退化情形

两条不同平行直线经等比例调整后，可写为

其中 $(A,B)\ne(0,0)$ 且 $C_1\ne C_2$。组合方程为

当 $\lambda+\mu\ne0$ 时，它表示平行直线

反过来，任意实数 $C$ 都可取 $\lambda=C-C_2$、$\mu=C_1-C$ 得到；两参数之和为 $C_1-C_2\ne0$。因此排除退化参数后，恰好得到所有与原两线平行的直线，也包括原来的两条。

当 $\lambda+\mu=0$ 且参数不全为零时，方程成为 $\lambda(C_1-C_2)=0$，没有解，不表示一条直线。若原两线重合，非零组合只可能给回原直线，另一些组合成为 $0=0$，表示整个平面。因此使用线性组合前，应先判断两原直线相交、平行还是重合。

圆系与公共弦所在直线

设两个相交且不同的圆写成 $S_i=x^2+y^2+D_ix+E_iy+F_i=0$。组合 $\lambda S_1+\mu S_2=0$ 自动经过两交点。

当 $\lambda+\mu\ne0$，除以这个系数后得到圆的一般式，并因包含两个不同实点而为实圆。当 $\lambda+\mu=0$ 且参数非全零，平方项消去，得到 $S_1-S_2=0$，即公共弦所在直线。

对一般不相交圆，组合后需额外检查配方所得半径平方：正为实圆，零为点，负则没有实点。

一般二次曲线的切线表达

记 $Q(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$。在曲线上正则点 $P(u,v)$，即 $Q(u,v)=0$ 且两个一次系数 $2Au+Bv+D,Bu+2Cv+E$ 不同时为零，切线为

沿方向 $(h,k)$ 写 $Q(u+th,v+tk)$，其一次项为 $t[(2Au+Bv+D)h+(Bu+2Cv+E)k]$；切向使这一项为零，得到上式。这个推导只对一元参数多项式展开，不需要多元微积分。

若曲线退化且两系数同时为零，上式可能成为零方程，不能宣称得到唯一切线。过曲线外点的两条实切线若存在且切点不同，可分别将外点代入切点处的公式，得到同一条切点弦方程。

圆与椭圆的切点弦

圆 $x^2+y^2=R^2$ 外点 $P(u,v)$ 向圆作两条切线，切点 $T(x_0,y_0)$ 满足其切线 $xx_0+yy_0=R^2$ 经过 $P$，所以所有切点满足 $ux_0+vy_0=R^2$。两切点连线因此是 $ux+vy=R^2$。

对椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，同理切点弦为 $ux/a^2+vy/b^2=1$。该几何解释要求外点能作两条实切线；椭圆外点判据为 $u^2/a^2+v^2/b^2>1$。边界等于 $1$ 时只有一条切线，内部则无实切点。

例：圆 $x^2+y^2=1$ 的外点 $(2,0)$，切点弦为 $x=1/2$，切点为 $(1/2,\pm\sqrt3/2)$。

椭圆两条垂直切线交点的轨迹

对椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$（$a,b>0$），过点 $P=(u,v)$ 的非竖直切线设为 $y-v=k(x-u)$。切线条件是 $(v-ku)^2=a^2k^2+b^2$，即

若两条切线均非竖直，且互相垂直，则其斜率积为 $-1$，所以 $u^2+v^2=a^2+b^2$。若一条竖直，则为 $x=\pm a$，另一条必须为水平切线 $y=\pm b$，交点也在该圆上。

反之，圆上点若 $u^2\ne a^2$，上式判别式为 $4u^2v^2+4(u^2-a^2)^2>0$，两斜率积为 $-1$；若 $u^2=a^2$，则 $v^2=b^2$，对应上述竖直与水平切线。因此完整轨迹为 $u^2+v^2=a^2+b^2$，称为椭圆的蒙日圆。必要性与充分性都要证明，避免只得到候选轨迹。

蒙日圆上的两个三角形面积范围

椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$a>b>0$，中心为 $O$。取蒙日圆上点 $P=(u,v)$，即 $u^2+v^2=a^2+b^2$，两条切线切于 $A,B$。记

作伸缩变换 $(x,y)\mapsto(x/a,y/b)$，椭圆成为单位圆，面积缩小为原来的 $1/(ab)$。变换后的 $P$ 到原点距离为 $\sqrt Q$，切点弦到原点距离为 $1/\sqrt Q$，半弦长为 $\sqrt{Q-1}/\sqrt Q$。因此

第一式令 $t=\sqrt{Q-1}$，化为 $ab/(t+1/t)$；$t\in[b/a,a/b]$，故

第二式关于 $t>0$ 为 $ab\,t^3/(1+t^2)$，求导得正，故

各端点均可取到。两个三角形的高不同，不能把它们的面积范围混用。