空间射影、三余弦与异面直线距离

三余弦关系

取平面为 $z=0$，射线 $AO$ 的单位方向写成 $(\cos\varphi\cos\theta,\cos\varphi\sin\theta,\sin\varphi)$，其中 $\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]$ 是有符号仰角。令平面内射线 $AC$ 沿 $x$ 轴，则两射线夹角 $\gamma$ 满足

这是两个单位方向的数量积。$\theta$ 是水平投影射线与 $AC$ 的夹角，$|\varphi|$ 是线面角。垂直平面时水平投影为零，$\theta$ 不再有定义，应直接判断 $\gamma=\pi/2$。

与此不同，空间单位向量与三坐标轴正向的夹角为 $\alpha,\beta,\gamma$ 时，有 $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$；这是单位向量坐标的平方和。

三正弦关系

两平面交于 $x$ 轴，以其中一个平面作 $xy$ 平面。另一平面绕交线转过二面角 $\alpha\in[0,\pi]$。其中一条射线与交线正向夹角为 $\beta\in[0,\pi]$，其单位方向可写为

它与 $xy$ 平面的较小夹角 $\gamma$ 满足 $\sin\gamma=\sin\alpha\sin\beta$，因为第三坐标绝对值就是在单位法向量上的投影。换成有向角时应按方向处理符号。

由四面体体积求异面直线距离

在异面直线上分别取不同点 $A,B$ 与 $C,D$，令 $|AB|=a,|CD|=b$，两直线较小夹角为 $\theta\in(0,\pi/2]$，公垂线段长为 $d$。则

证明：取 $AB$ 沿 $x$ 轴，两直线的公垂方向沿 $z$ 轴，可写 $B-A=(a,0,0)$、$D-C=(b\cos\theta,b\sin\theta,0)$、$C-A=(u,v,d)$。以两方向和平移向量形成的平行六面体体积为 $ab\sin\theta\,d$；四面体体积为其 $1/6$。也可用底面三角形面积与高度逐步推得。

若两直线平行，分母为零且四点共面，必须另用平行线距离公式。