几何体的面积、体积与等体积法

体积计算先确定底面与对应的垂直高度。斜棱长度一般不是高。

柱、锥、台的体积

体积中的高一律取垂直距离。柱体的高是两底面之间的距离；锥体的高是顶点到底面的距离；台体的高是两个平行底面之间的距离。侧棱或母线的长度一般不能代替高。

设底面积为 $S$ 、高为 $h$ ；台体两底面积为 $S_1,S_2$ 。采用高中几何的柱体、锥体体积公式：

V_{\text{柱}}=Sh,\qquad V_{\text{锥}}=\frac13Sh.

它们适用于棱柱、棱锥以及圆柱、圆锥；斜棱柱、斜棱锥也按垂直高度计算。这两个公式作为体积理论的基本结论使用，本节不以展开图代替体积证明。

由平行于底面的平面截去锥顶后，剩余的台体满足

V_{\text{台}}=\frac h3\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right).

推导。 设大底面积 $S_1$ ，小底面积 $S_2<S_1$ ，补成的大锥体高为 $H$ 。大、小锥相似，令线性比

t=\sqrt{\frac{S_2}{S_1}},\qquad H-h=tH,\qquad H=\frac h{1-t}.

两锥体积相减：

\begin{aligned} V&=\frac13S_1H-\frac13S_2(H-h)\\ &=\frac{hS_1}{3(1-t)}(1-t^3) =\frac h3S_1(1+t+t^2)\\ &=\frac h3(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2). \end{aligned}

当 $S_2=0$ 时退化为锥体公式；两底面积相等时，公式形式上给出柱体的 $Sh$ ，但非退化锥体不能用两个不同的平行截面截出等面积底面。任意“上下两面平行”的几何体并不都满足台体公式。

设半径 $r>0$ ，圆台两底半径为 $R>r>0$ ，母线长为 $l$ 。

圆柱侧面展开为长 $2\pi r$ 、宽 $h$ 的矩形。圆锥侧面展开为半径 $l$ 、弧长 $2\pi r$ 的扇形，面积为弧长乘半径的一半，即 $\pi rl$ 。圆台补锥后作两圆锥侧面积之差，推导见圆台公式。总表面积还须加上实际存在的底面。

同一棱锥可选择不同的面作底。若一个三棱锥用底面积 $S_1$ 、高 $h_1$ 和另一底面积 $S_2$ 、高 $h_2$ 表示体积，则

S_1h_1=S_2h_2,\qquad h_2=\frac{S_1h_1}{S_2}.

这种方法适合“待求点面距离是某个棱锥的高，而棱锥体积可以从另一底面算出”的情况。换底时顶点也随之改变；必须始终在计算同一个几何体。

设底面周长为 $p$ 。直棱柱各侧面为矩形，高均为 $h$ ，所以 $S_{\text{侧}}=ph$ 。正棱锥各侧面为三角形，共同斜高为 $l$ ，故 $S_{\text{侧}}=pl/2$ 。

正棱台上下底周长分别为 $p_1,p_2$ ，各侧面等腰梯形的共同高为 $l$ ，则

S_{\text{侧}}=\frac{p_1+p_2}{2}l.

这些公式直接来自把各侧面面积相加。非正棱锥、非正棱台的侧面高度通常不同，应逐面计算；斜棱柱也不能把侧棱长直接当作矩形高。

全面积还要加上底面积：棱柱加两个全等底面，棱锥加一个底面，棱台加两个不同底面。圆柱、圆锥、圆台的对应公式统一见前面的旋转体表。

直圆台下底半径 $R$ 、上底半径 $r$ ， $R>r>0$ ，高 $h$ 。补成圆锥后，由相似，大圆锥高 $H=Rh/(R-r)$ ，小圆锥高 $H-h=rh/(R-r)$ ，所以

V=\frac\pi3[R^2H-r^2(H-h)]=\frac{\pi h}3(R^2+Rr+r^2).

轴截面的直角三角形给出母线 $l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}$ 。两圆锥侧面积相减得 $S_{\text{侧}}=\pi(R+r)l$ 。总表面积还须加 $\pi R^2+\pi r^2$ 。

例如 $R=3,r=1,h=\sqrt{12}$ ，则 $l=4$ ，侧面积 $16\pi$ ，总表面积 $26\pi$ ，体积 $26\sqrt3\pi/3$ 。高垂直于底面，母线在侧面上，二者不可混用。

三棱锥 $P-ABC$ 底面积为 $6$ ， $P$ 到底面的高为 $4$ ，故体积为 $8$ 。若侧面 $PAB$ 面积为 $12$ ，以它为底，则 $C$ 到平面 $PAB$ 的距离满足 $8=12d/3$ ，得 $d=2$ 。

相似比为 $k>0$ 时，长度比 $k$ 、面积比 $k^2$ 、体积比 $k^3$ 。等底等高只保证体积相同，不保证表面积或形状相同。球体积等连续几何公式在本手册作为高中标准公式使用，不借助积分证明。

球半径为 $R>0$ ，截得球冠的高为 $0\le h\le2R$ ，截面圆半径为 $\rho$ 。勾股定理给

\rho^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2.

常见材料题使用球冠曲面面积与球缺体积公式

S_{\text{冠}}=2\pi Rh,\qquad V_{\text{缺}}=\frac{\pi h^2(3R-h)}3.

球缺是实体；若求它的全部边界面积，另加底面圆面积 $\pi\rho^2$ 。本节将两个公式作为高中材料题的给定工具使用，不引入曲面积分或积分推导。

截平面另一侧的高为 $2R-h$ ，两球冠面积之和为 $4\pi R^2$ ，两球缺体积之和为 $4\pi R^3/3$ ，可以直接代数验算。

例如两个球冠面积比为 $1:2$ ，对应高为 $2R/3,4R/3$ ；代入体积公式得到体积比 $7:20$ 。面积比不能直接当成体积比，也不能把两块球缺误认为相似体。

设一个凸多面体有半径为 $r>0$ 的内切球，球心为 $O$ ，各面面积为 $S_1,\ldots,S_m$ ，总表面积为 $S=\sum S_i$ 。则

V=\frac13rS.

证明。 连接球心与各面的顶点，将多面体分成以 $O$ 为顶点、各面为底的棱锥。由于球心在内部且多面体凸，这些棱锥覆盖整体、内部互不重叠。球与每个面相切，故 $O$ 到各面的距离均为 $r$ ，所以

V=\sum_{i=1}^m\frac13S_ir=\frac13rS.

计算内切球半径时可反用 $r=3V/S$ 。同一球必须与所有面相切；仅与几条棱或部分面相切，不能把全部表面积代入。此式也不要求各面面积相等或多面体为正多面体。