代数运算、恒等式与因式分解

平方、立方与三元立方恒等式

以下恒等式对实数或复数均成立：

它们由分配律展开、合并同类项得到。例如

三元立方恒等式为

证明。 展开右边，三个纯立方各出现一次；每个 $a^2b$ 型项的正负系数抵消；$abc$ 从三个负乘积中各出现一次，故结果为左边。二次因子还有形式

所以在实数范围，原三次式为零当且仅当 $a+b+c=0$ 或 $a=b=c$；若进一步 $a,b,c\ge0$，三次式非负。这些符号结论使用实数平方非负，不能照搬到复数大小比较。

一般幂差与奇次幂和

对正整数 $n$，

当 $n$ 为正奇数时，

证明。 第一式把右边拆成乘 $x$ 与乘 $-y$ 的两个和，中间各项相消，仅剩 $x^n-y^n$。第二式在第一式中将 $y$ 换为 $-y$；由于 $n$ 为奇数，$(-y)^n=-y^n$。括号内每一项总次数均为 $n-1$，可用来检查抄写错误。

添项配方与平方和乘积

两条常用恒等式为

第一式先写成 $(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2$ 再用平方差；第二式展开后两项交叉乘积 $2abxy$ 与 $-2abxy$ 抵消。这两式分别体现添减同一项配方、将乘积改写成平方和的方法。

因式分解与结构识别

将非零多项式写成若干多项式的乘积，称为因式分解。讨论“还能否分解”必须先指定系数范围。例如

在实系数范围成立，但在有理系数范围不能分成两个一次因式；$x^2+1$ 在实系数范围不可这样分解，在复系数范围则为 $(x-i)(x+i)$。完全因式分解要求非恒定因子在指定范围内不能再分成两个正次数的因子。

常用步骤包括：提取公因式；按共同结构分组；识别平方、立方和幂差；添减同一项配方；整体换元；试出零点后提出一次因式。二次式的待定系数分解

要求同时满足 $uw=a,ut+vw=b,vt=c$，不能只匹配首尾系数。

多元多项式的每个非零项总次数都为 $d$ 时，称为 $d$ 次齐次多项式，并有 $P(tx_1,\ldots,tx_n)=t^dP(x_1,\ldots,x_n)$。交换任意两个变量后不变称为完全对称；只要求循环换位后不变称为轮换对称。例如 $a^2+2b^2$ 齐次但不对称；$a^2b+b^2c+c^2a$ 轮换对称但不完全对称。

对称式可考虑用 $a+b,ab$ 或三元基本对称式换元；齐次式可考虑比例换元。换元的定义域、零变量分支以及新变量的可行条件必须同时保留。