方差、标准差与数据变换

离散程度衡量数据之间的差异。极差只使用两个端点，方差则综合所有数据。

描述性方差

本手册高中数据描述采用

s^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2=\frac1n\sum x_i^2-\bar x^2,

标准差 $s=\sqrt{s^2}$ 。展开平方并用 $\sum x_i=n\bar x$ 即得后一式。极差是最大值减最小值。

统计推断中还常用分母 $n-1$ 的校正样本方差（ $n>1$ ）；它与上述描述性方差不同，读取题目或软件结果时要确认定义。

数据 $1,2,3$ 的均值为 $2$ ，方差为 $2/3$ 。每个数据变为 $y_i=ax_i+b$ 时， $\bar y=a\bar x+b$ ， $s_y^2=a^2s_x^2$ ，标准差变为 $|a|s_x$ 。平移不改变离散程度，单位缩放会改变它。

若 $s>0$ ，标准化 $z_i=(x_i-\bar x)/s$ 后描述性均值为零、方差为一。 $s=0$ 时所有数据相同，不能这样除。

样本方差是已观测数据的描述；随机变量方差是概率模型的属性。样本越大不意味着样本方差一定越小；样本均值估计的波动与原始数据的离散程度应区分。

两组样本量为 $n_1,n_2$ ，均值为 $\bar x_1,\bar x_2$ ，方差均采用除以本组样本量的定义，记为 $s_1^2,s_2^2$ 。合并均值 $\bar x=(n_1\bar x_1+n_2\bar x_2)/(n_1+n_2)$ ，合并方差为

s^2=\frac{n_1[s_1^2+(\bar x_1-\bar x)^2]+n_2[s_2^2+(\bar x_2-\bar x)^2]}{n_1+n_2}.

证明只需在每组中写 $x-\bar x=(x-\bar x_j)+(\bar x_j-\bar x)$ 并平方求和。交叉项为零，因为本组相对本组均值的离差和为零。

因此总波动同时包含各组内部波动和各组均值之间的差异，不能只平均两组方差。

第一组数据为 $1,1$ ，第二组为 $5,5$ ，两组方差都是 $0$ ，均值分别为 $1,5$ 。合并均值为 $3$ ，四个数据到均值的距离都为 $2$ ，故合并方差为 $4$ 。

代入合并公式也得 $s^2=[2(0+4)+2(0+4)]/4=4$ 。若将所有数据变成 $y=2x-3$ ，新均值为 $3$ ，新方差为 $16$ ，新标准差为 $4$ 。平移不改变波动，放大两倍使方差放大四倍。