凸性与有限加权不等式

凸函数、凹函数与严格凸性

设 $I$ 为实数区间，$f:I\to\mathbb R$。若对任意 $x,y\in I$ 和 $t\in[0,1]$ 都有

则称 $f$ 在 $I$ 上为凸函数。右边是图像上两点之间弦线的纵坐标，左边是同一横坐标处的函数值，所以这个定义表示图像在弦线下方或弦线上。若不等号反向，则称为凹函数。

若 $x\ne y$ 且 $0<t<1$ 时上式总是严格小于，则称为严格凸函数；严格凹函数同理。一次函数同时为凸函数和凹函数，因而一般凸性不能保证等号只在 $x=y$ 时成立。中文资料中“上凸、下凸”的命名不统一，本手册以这里的不等号方向为准。

加权琴生不等式

设 $f$ 在 $I$ 上为凸函数，$x_1,\ldots,x_n\in I$，$\lambda_i\ge0$ 且 $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$，则

凹函数的方向相反。等权时取 $\lambda_i=1/n$，得到

若 $f$ 严格凸或严格凹，等号当且仅当所有正权重所对应的 $x_i$ 相同；零权重对应的点不受限制。

证明。 删去零权重后，对正权重个数归纳。一个点时为等式，两个点时就是定义。设前 $n-1$ 点的结论已成立，令

由于 $I$ 为区间，$u\in I$。先应用二点定义，再应用归纳假设，得到

严格凸时，两处同时取等要求 $x_1=\cdots=x_{n-1}=u=x_n$。凹函数可对 $-f$ 使用已证结论。

割线、切线与二阶导数判定

三点割线斜率

$f$ 在区间 $I$ 上凸，当且仅当对任意 $x_1<x_2<x_3$ 均有

证明。 令 $t=(x_2-x_1)/(x_3-x_1)\in(0,1)$。凸性给出

乘以正数 $x_3-x_1$，分别移项并除以正的横坐标差，就得到两条斜率不等式。这些变形均可逆，所以斜率条件也能推出凸性。三个横坐标必须互异，否则某些斜率没有定义。

切线不等式

若 $f$ 在开区间 $I$ 上可导且凸，则对任意 $x,y\in I$，

证明。 当 $y>x$，三点斜率关系表明 $[f(y)-f(x)]/(y-x)$ 不小于右侧趋近 $x$ 的割线斜率极限 $f'(x)$。当 $y<x$，相应斜率不大于 $f'(x)$，乘以负数 $y-x$ 后仍得到同一结论。$y=x$ 时为等式。

反过来，若每个 $x$ 的切线不等式都成立，取 $u=tx+(1-t)y$，分别写出

乘以 $t,1-t$ 后相加，导数项抵消，得到凸性定义。严格凸时，切线式仅在 $x=y$ 时取等；一般凸函数可能在一整段直线上取等。

导数判定

对可导函数，凸性等价于 $f'$ 单调不减。必要性由上面的割线夹在两端导数之间得到。充分性可用中值定理：若 $y>x$，则割线斜率等于某个 $\xi\in(x,y)$ 处的 $f'(\xi)\ge f'(x)$；$y<x$ 同理。因此所有切线不等式成立。

所以二阶可导时，$f''\ge0$ 足以推出凸性，$f''\le0$ 足以推出凹性；$f''>0$ 或 $f''<0$ 分别足以推出严格凸或严格凹。严格凸并不要求处处 $f''>0$，例如 $x^4$ 在零点的二阶导数为零。

若图像在某个内点的左右两侧分别凸、凹，且在该点连续，称该点为拐点。二阶导数在两侧保持相反符号可以判定这种改变；只知道该点 $f''=0$ 不够，例如 $x^4$ 在零点没有改变凸性。若该点可导，左右两侧切线支撑不等式的方向相反，便解释了切线两侧图像的位置改变。

表中结论由二阶导数的符号得到；三角函数的其余区间再利用周期和平移判断。使用琴生不等式前，必须确认全部输入位于同一个所列区间。