单调性、奇偶性、周期与对称

单调性的定义、运算全表与符号限制

设实值函数 $f$ 定义在 $D$，$I\subseteq D$ 为区间。以下条件均要求对每一对 $x_1,x_2\in I$ 且 $x_1<x_2$ 成立：

“增函数”“减函数”在本文指严格情形。常函数既非减又非增，在含两个不同点的区间上既不严格增也不严格减。严格单调推出单射；单射未必单调，例如在 $\mathbb R$ 上交换恒等函数的 $0,1$ 两点取值。单调区间分开报告，不能擅自把隔着无定义点的两个区间合并。

平移、数乘与倒数

$f+c$ 与 $f$ 同方向；$cf$ 在 $c>0$ 时保持方向，在 $c<0$ 时反向，$c=0$ 时为常函数。因为两点函数值之差分别为 $f(x_2)-f(x_1)$ 与 $c(f(x_2)-f(x_1))$。

若 $f$ 在整个区间恒正或恒负，$1/f$ 与 $f$ 方向相反。这来自

分母恒正。仅说“处处不为零”仍不够，例如在 $[-1,1]$ 上令 $f(x)=x-1$（$x<0$）、$f(x)=x+1$（$x\ge0$），它严格递增且不取零，但倒数跨越 $0$ 时向上跳，不能在整个区间严格递减。

加减运算的完整表

下面两函数都在同一区间上严格单调。“不能确定”表示这些已知条件不足，并非一定不单调。

证明：令 $\Delta f=f(x_2)-f(x_1)$、$\Delta g=g(x_2)-g(x_1)$，和与差的变化分别为 $\Delta f+\Delta g$、$\Delta f-\Delta g$，逐行检查符号。对于不能确定的格子，令两线性函数斜率的绝对值分别大于、等于、小于对方，就可出现增、常数、减三种结果。非严格版本相应成立；若要保留严格结论，至少一个提供同方向的严格变化。

乘除不能脱离符号判断

同为正值的两个增函数之积递增，同为正值的两个减函数之积递减；正值增函数除以正值减函数递增，正值减函数除以正值增函数递减。乘积结论由

逐项定号；商先把分母取倒数再作乘积。若同为负值的两个函数递增，其乘积反而递减，可对 $-f,-g$ 应用正值情形。没有符号条件时，$f(x)=g(x)=x$ 都在实数上递增，积 $x^2$ 却不是全域单调。因此不能把加法规则直接照搬到乘法。

对称性与周期性

讨论对称性时，函数值关系与定义域关系必须同时成立。设函数定义域为 $D$。

奇偶性与一般对称

当 $D$ 关于零对称，即 $x\in D\iff -x\in D$ 时：

• 若对每个 $x\in D$ 都有 $f(-x)=f(x)$，则 $f$ 为偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。
• 若对每个 $x\in D$ 都有 $f(-x)=-f(x)$，则 $f$ 为奇函数，图像关于原点对称。

若奇函数在零点有定义，则 $f(0)=-f(0)$，所以 $f(0)=0$。只满足 $f(0)=0$ 不能反推奇函数。

一般地，图像关于直线 $x=a$ 对称的充要条件为

关于点 $(a,b)$ 中心对称的充要条件为

这来自点 $(x,y)$ 经两种对称后分别变为 $(2a-x,y)$ 与 $(2a-x,2b-y)$。因此奇偶性分别是 $a=0$、$(a,b)=(0,0)$ 的特殊情形。

周期及最小正周期

非零实数 $T$ 称为 $f$ 的周期，是指 $D$ 在向两侧平移 $T$ 后保持不变，并且

“保持不变”即 $x\in D\iff x+T\in D$。反复平移可得 $f(x+kT)=f(x)$，$k\in\mathbb Z$，因此非零整数倍 $kT$ 也是周期。

若所有正周期中存在最小者，称它为最小正周期。验证一个 $T$ 是周期，只证明它可用；要称“最小”，还须排除更小的正周期。常函数的每个非零实数都是周期，因而没有最小正周期。

上界、上确界与最大值的区别

若对定义域中所有 $x$ 都有 $f(x)\le M$，则 $M$ 为一个上界。上界可以有很多；最小的上界叫上确界，记作 $\sup f$。若还存在 $x_0$ 使 $f(x_0)=M$，这个上界才是最大值。下界、下确界与最小值类似。

例如 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上的上确界为 $1$，下确界为 $0$，但没有最大值和最小值。证明 $1$ 是上确界，除了证明 $x<1$，还需说明任意 $M<1$ 都不是上界：可在 $\max\{M,0\}$ 与 $1$ 之间选一个 $x$。

恒成立 $f(x)\le a$ 等价于 $a\ge\sup f$（值域非空且有上界时）。严格不等式 $f(x)<a$ 是否允许 $a=\sup f$，要看上确界能否取到。例如 $(0,1)$ 上要求 $x<a$，答案是 $a\ge1$；若定义域改为 $[0,1]$，答案变成 $a>1$。