区间约束下的多元最值：逐变量线性与顶点法

每个变量分别出现一次的表达式，整体未必是一次式，但固定其他变量后仍能用线性函数的端点性质。

逐变量线性与端点原理

设 $x_i\in[l_i,u_i]$ ，且 $l_i<u_i$ 。若固定其余变量后， $F(x_1,\ldots,x_n)$ 关于每一个 $x_i$ 都是一次函数或常数，则其最大值、最小值均可在长方体的顶点取得。

证明时固定 $x_2,\ldots,x_n$ ，把 $x_1$ 移到不使函数值减小的端点，再依次处理其余变量。有限次移动后达到某个顶点，故任何函数值都不大于某个顶点值；反向选择给出最小值。只需比较 $2^n$ 个顶点。

例如 $xy+yz+zx-xyz$ 符合条件； $x^2+y$ 不符合。变量的可行范围必须彼此独立，若有 $x+y=1$ ，不能任意移动一个变量而固定另一个。

令 $t_i=(x_i-l_i)/(u_i-l_i)\in[0,1]$ 。反复使用一次插值，可把 $F$ 写成全部顶点值的加权和；某顶点在第 $i$ 个坐标取下端点时贡献因子 $1-t_i$ ，取上端点时贡献 $t_i$ 。所有权重非负，和为 $\prod_i[(1-t_i)+t_i]=1$ 。

若各坐标都严格位于区间内部，所有权重均为正。因此只要顶点值不全相等，内部函数值严格介于顶点最小值与最大值之间。开长方体内可以无限接近边界的最优值，却不能据此说存在最大值或最小值。若所有顶点值相同，插值式说明函数在整个长方体上恒定。

求 $F=a+b+c-abc$ 在 $-1\le a,b,c\le2$ 上的最值。表达式对称，只按顶点中等于 $2$ 的变量个数分类：

故最小值 $-2$ ，最大值 $7$ ，分别可在 $(-1,-1,-1)$ 、 $(2,2,-1)$ 取得。若各变量范围改为 $(-1,2)$ ，则 $-2<F<7$ ，两个界都可逼近而不能取得。

若每次固定其他变量后所得一元函数为凸函数，则它在闭区间内不超过两个端点值的较大者，逐次移动仍证明最大值可在顶点取得。但最小值未必在顶点，例如 $x^2+y^2$ 在 $[-1,1]^2$ 的最小值在 $(0,0)$ ，四个顶点的值均为 $2$ 。

逐变量凹时可对应推出最小值在顶点取得。应用时必须说明是线性、凸还是凹，不能把几种端点结论混为一谈。