统计图表、均值与分位数

不同摘要保留不同信息。先看分布形状、异常值和分组，再选择代表数。

图表与代表数

频率为频数除以总数。频率密度直方图的纵轴是频率除以组距，因此矩形面积才是该组频率，总面积为 $1$ ；组距不等时不能只比较柱高。

均值 $\bar x=\sum x_i/n$ 使用全部数值；中位数在 $n$ 为奇数时取第 $(n+1)/2$ 项， $n$ 为偶数时取第 $n/2$ 与第 $n/2+1$ 项的平均；众数是频数最多的值，可能不唯一。加权均值为 $\sum w_ix_i/\sum w_i$ ，权重需有明确意义。

分位数约定

设样本容量 $n\ge1$ ，数据按非递减顺序排列，分位水平为 $0<p<1$ 。有限样本的分位数存在多种约定。本手册采用：先求 $np$ ；若不是整数，取第 $\lceil np\rceil$ 个数；若是整数 $k$ （ $0<p<1$ ），取第 $k,k+1$ 个数的平均。与具体教材或软件比较时先核对约定。

箱线图通常用四分位数和中位数描述位置；离群点界限常采用 $Q_1-1.5(Q_3-Q_1)$ 与 $Q_3+1.5(Q_3-Q_1)$ ，这是一种标记规则，不是自动删除数据的依据。

例

数据 $1,2,2,3,12$ 的均值为 $4$ ，中位数和众数均为 $2$ 。大值 $12$ 显著拉高均值，说明仅报均值可能掩盖大多数观测的典型位置。

例：从不等组距直方图估计均值和中位数

某数据分为 $[0,10)$ 、 $[10,20)$ 、 $[20,40]$ 三组，频率分别为 $0.2,0.3,0.5$ 。组距为 $10,10,20$ ，对应频率密度为 $0.02,0.03,0.025$ 。最后一组人数最多，但第二组柱子最高。

以组中点代表每组数据，均值估计为

\bar x\approx5\times0.2+15\times0.3+30\times0.5=20.5.

前两组累计频率恰为 $0.5$ ，按直方图的组内均匀近似，中位数估计为 $20$ 。若要估计第 $75$ 百分位数，还需在第三组累积 $0.25$ 的面积，对应长度 $0.25/0.025=10$ ，故估计为 $30$ 。

原始数据在每个区间内的位置未知，上述均值与分位数是分组近似，不能称为精确恢复了原始样本的数字特征。最高柱的组中点也仅是常见的众数估计。

例：按约定逐步计算四分位数

数据已排序为 $2,3,4,4,7,9,10,15$ ，样本容量 $n=8$ 。按本手册的分位数约定， $8\times25\%=2$ 是整数，所以

Q_1=\frac{3+4}{2}=3.5,\quad Q_2=\frac{4+7}{2}=5.5,\quad Q_3=\frac{9+10}{2}=9.5.

四分位距为 $6$ 。按 $1.5$ 倍四分位距规则，界限为 $-5.5$ 与 $18.5$ ，没有数据被标记为离群值。

计算第 $60$ 百分位数时， $8\times0.6=4.8$ 不是整数，应取第 $5$ 个数 $7$ 。不能把整数位置时的“取两数平均”机械用于所有百分位数。

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