多项式的概念、运算与恒等判定

本篇从系数和次数认识多项式，说明运算怎样影响系数与次数，再区分多项式恒等和某一点取值相等。根、除法与插值在后续文章中分别展开。

多项式、次数与系数范围

一元多项式是变量 $x$ 的非负整数次幂的有限线性组合，其中 $n$ 为非负整数，各系数取自预先约定的数集：

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.

各 $a_i$ 称为系数， $a_0$ 为常数项。若 $a_n\ne0$ ，则最高的非零项次数 $n$ 称为 $P$ 的次数，记为 $\deg P=n$ ； $a_n$ 为首项系数。非零常数的次数为 $0$ 。零多项式没有通常意义下的次数；需要统一次数公式时约定 $\deg0=-\infty$ 。

按系数范围可分为整系数、有理系数、实系数、复系数多项式。有理系数多项式乘以所有分母的公倍数，可化为整系数多项式，且不改变其零点。 $x^{-1}$ 、 $\sqrt x$ 、 $2^x$ 都不属于关于 $x$ 的多项式。

对非零多项式 $P,Q$ ，

\deg(PQ)=\deg P+\deg Q,

因为两个首项相乘的系数非零。对于和或差，

\deg(P\pm Q)\le\max(\deg P,\deg Q),

允许最高次项抵消；若 $\deg P\ne\deg Q$ ，则取等。

首项系数为 $1$ 的非零多项式称为首一多项式。记 $\mathbb Q[x]$ 、 $\mathbb R[x]$ 、 $\mathbb C[x]$ 分别为有理、实、复系数多项式的集合， $\mathbb Z[x]$ 表示整系数多项式。这里方括号表示系数范围，不是函数定义域或区间。

多项式 $P$ 是一个代数表达式；代入数 $a$ 后得到数值 $P(a)$ 。多项式相等要求各次幂的系数分别相同，不能只检查一个代入值。多元多项式的一个单项式的次数为各变量指数之和，例如 $x^2y$ 的总次数为 $3$ ；本章除对称式部分外主要讨论一元多项式。

加减、乘法与复合的运算法则

设 $P(x)=\sum_{i=0}^m a_ix^i$ 、 $Q(x)=\sum_{j=0}^n b_jx^j$ 。把超出原次数的系数约定为零，则

P(x)\pm Q(x)=\sum_{k=0}^{\max(m,n)}(a_k\pm b_k)x^k,

P(x)Q(x)=\sum_{k=0}^{m+n}c_kx^k,\qquad c_k=\sum_{i=\max(0,k-n)}^{\min(m,k)}a_i b_{k-i}.

加减就是合并同次项；乘积中产生 $x^k$ 的项恰来自指数和等于 $k$ 的两个因子。比如 $(1+2x)(3-x+x^2)=3+5x-x^2+2x^3$ ，二次项系数为 $1\cdot1+2\cdot(-1)=-1$ 。

多项式加法、乘法满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配律；这些性质由数的运算法则和有限项合并得到。非零多项式的乘积不为零，因为首项系数之积非零，因此 $PQ=PR$ 且 $P\ne0$ 时可以约去 $P$ 。

若 $P,Q$ 分别为 $m,n$ 次且 $m,n\ge1$ ，则复合多项式 $P(Q(x))$ 的次数为 $mn$ ，首项系数为 $a_m b_n^m$ 。这是因为 $a_mQ(x)^m$ 的次数最高，其他项次数均小于 $mn$ 。若 $Q$ 为常数，复合结果可能为零，须直接代入，不能机械套用非零次数公式。

除法通常不会得到多项式，例如 $1/x$ 。应使用带余除法将被除式写为“除式乘商式，加余式”，余式为零时才称整除。

恒等判定：系数比较与足够多的点值

设 $P,Q$ 的次数都不超过非负整数 $n$ 。以下三种说法等价：

各次幂（含常数项）的系数分别相同，即 $P\equiv Q$ 。
对每个实数 $x$ ，都有 $P(x)=Q(x)$ 。
存在 $n+1$ 个互异的实数 $x_0,\ldots,x_n$ ，使 $P(x_i)=Q(x_i)$ 。

证明。 由系数相同代入任意值，得到1推出2，2显然推出3。若3成立而系数不全相同，则 $P-Q$ 是非零的至多 $n$ 次多项式，却有 $n+1$ 个不同根，与根数上界矛盾。因此3推出1。复数节点也有相同结论；根数上界的证明只使用因式定理，不依赖这里的恒等判定。

次数上界和节点互异不可省略。例如 $0$ 与 $x(x-1)$ 在 $0,1$ 处同值，但不恒等。不限制次数时，即使给出有限多个点值，也能在已有多项式上加上这些节点对应的一次因式之积，得到另一个同值多项式。次数不超过 $n$ 时，不仅至多有一个符合 $n+1$ 个互异点值的多项式，而且总能构造出来；构造和证明见插值。