焦半径、准线与圆锥曲线统一观点

离心率刻画点到焦点的距离与到准线距离的比。它把三类圆锥曲线联系起来。

焦点—准线定义及三类曲线的推导

给定点 $F$ 、不经过 $F$ 的直线 $l$ 及常数 $e>0$ ，研究满足

PF=e\,d(P,l)

的点 $P$ 。常数 $e$ 称为离心率。选择 $F=(0,0)$ 、准线 $x=d$ （ $d>0$ ），则距离等式为 $\sqrt{x^2+y^2}=e|x-d|$ 。两边非负，平方等价于

(1-e^2)x^2+y^2+2e^2dx-e^2d^2=0.

\frac{(x+e^2d/(1-e^2))^2}{e^2d^2/(1-e^2)^2}+\frac{y^2}{e^2d^2/(1-e^2)}=1,

为椭圆。

\frac{(x-e^2d/(e^2-1))^2}{e^2d^2/(e^2-1)^2}-\frac{y^2}{e^2d^2/(e^2-1)}=1,

为包含两支的双曲线。

所有标准式都能反向恢复非负距离等式，因此这里的分类是充要的。尤其 $e>1$ 时不应只保留一支。

以下取中心在原点、焦轴为 $x$ 轴，左右焦点为 $F_-=(-c,0),F_+=(c,0)$ ， $e=c/a$ 。

两类曲线统一写为 $PF_-=|a+ex|,PF_+=|a-ex|$ ；椭圆上 $|x|\le a$ 且 $e<1$ ，可以去掉绝对值。公式的距离平方推导见标准方程。

把焦半径改写为

PF_\pm=e\left|x\mp\frac{a^2}{c}\right|,

得到左右焦点对应准线分别为 $x=-a^2/c$ 、 $x=a^2/c$ 。左右号须配对。焦点到对应准线的距离为

\left|c-\frac{a^2}{c}\right|=\frac{b^2}{c},

其中椭圆用 $c^2=a^2-b^2$ ，双曲线用 $c^2=a^2+b^2$ 。纵向形式交换 $x,y$ 即可。

用途。 含 $PF$ 的距离最值可先换成 $e\,d(P,l)$ ，变为点到直线的距离问题；但还需保留点在曲线的哪一支、哪一段，不能把带绝对值的距离无条件写成线性式。

以下 $P=(x_0,y_0)$ 在对应曲线上， $p>0$ ：

焦半径直接等于到准线的距离。例如第一行由方程得 $x_0\ge0$ ，因此到准线的距离 $|x_0+p/2|=x_0+p/2$ 。其余三行依次利用 $x_0\le0,y_0\ge0,y_0\le0$ 去绝对值。四个方程的定义与推导见抛物线标准方程。

椭圆 $x^2/25+y^2/9=1$ 的点横坐标为 $3$ ，到右焦点距离为 $5-(4/5)\cdot3=13/5$ ，到左焦点为 $37/5$ ，两者和为 $10$ 。

设非退化焦点三角形 $PF_1F_2$ 中 $PF_1=u,PF_2=v,F_1F_2=2c,\angle F_1PF_2=\theta\in(0,\pi)$ 。

椭圆中 $u+v=2a,c^2=a^2-b^2$ 。余弦定理给 $uv\cos^2(\theta/2)=b^2$ ，于是面积为

S=\frac12uv\sin\theta=b^2\tan(\theta/2).

双曲线中 $|u-v|=2a,c^2=a^2+b^2$ ，类似得到 $uv\sin^2(\theta/2)=b^2$ ，所以

S=b^2\cot(\theta/2).

再考虑双曲线右支上的 $P$ ， $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$ 。此时 $u-v=2a$ 。内切圆在底边 $F_1F_2$ 的切点 $T$ 满足

F_1T=c+\frac{u-v}{2}=c+a,

因为从同一顶点向内切圆作的两条切线段相等。故 $T$ 横坐标为 $a$ ，内心 $I$ 在直线 $x=a$ 上。左支相应为 $x=-a$ 。

$P$ 为顶点时三角形退化，不能继续讨论正半径内切圆。这里的直线是内心所在的必要位置，不应直接宣布整条直线都是内心轨迹。