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常见几何体的定义与结构

基础更新于 2026-09-29

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识别几何体时，先看定义是否满足，再使用该类几何体的性质。底面是正多边形，不足以单独保证一个棱柱或棱锥为“正”。

棱柱及其特殊类型

棱柱由一个多边形沿不平行于其所在平面的方向平移形成。两底面全等且平行；侧面为平行四边形；各侧棱平行且等长。高是两底面之间的垂直距离，斜棱柱的侧棱长通常大于高。

  • 直棱柱：侧棱垂直底面，侧面都是矩形。
  • 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱。
  • 平行六面体：底面为平行四边形的四棱柱，六个面都是平行四边形。
  • 直平行六面体：侧棱垂直底面的平行六面体；底面仍可以不是矩形。
  • 长方体：底面为矩形的直平行六面体。
  • 正方体：三种棱长相等的长方体。

平行六面体的四条体对角线共中点：取一个顶点为原点，三条相邻棱向量为 u,v,w\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w，每对相对顶点的位置向量之和都是 u+v+w\boldsymbol u+\boldsymbol v+\boldsymbol w。因此公共中点为其一半。一般平行六面体的体对角线不必等长；长方体的体对角线才都等于 a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2}。

棱锥、正棱锥与棱台

棱锥由一个平面多边形及该平面外一点构成，顶点与底面各顶点相连；各侧面为三角形。

正棱锥的底面为正多边形，顶点在底面的垂足为底面中心。因此侧棱等长，侧面为全等的等腰三角形，各侧面底边上的高相等，称为斜高。设正棱锥高为 hh，底面外接圆、内切圆半径分别为 R,rR,r，则侧棱长 ss 与斜高 ll 满足

s2=h2+R2,l2=h2+r2.s^2=h^2+R^2,\qquad l^2=h^2+r^2.

正三棱锥的底面是等边三角形，三条侧棱彼此相等，但未必与底边等长；正四面体另要求六条棱全部相等。

用平行于棱锥底面的平面截去锥顶，余下部分为棱台。其两底面相似，对应边平行，侧棱延长共点；从正棱锥截得正棱台，侧面为全等的等腰梯形。仅有两个平行且相似的面，不足以直接套用棱台结论，还要确认侧棱具有共同锥顶。

棱柱分类的区别与柱锥台公式汇总

四棱柱的特殊类型需要分别检查底面与侧棱：

底面条件 侧棱条件 名称
任意四边形 垂直底面 直四棱柱
平行四边形 不另限制 平行六面体
平行四边形 垂直底面 直平行六面体
矩形 垂直底面 长方体
正方形 垂直底面 正四棱柱
正方形 垂直底面且侧棱等于底边 正方体

所以正四棱柱未必是正方体。以下汇总面积与体积；几何体的定义、斜高与空间高的区别见前两节。

几何体 侧面积 全面积 体积
棱柱 各侧面面积之和；直棱柱为 ChCh S侧+2SS_{\text{侧}}+2S ShSh
棱锥 各侧面面积之和；正棱锥为 Cl/2Cl/2 S侧+SS_{\text{侧}}+S Sh/3Sh/3
棱台 各侧面面积之和；正棱台为 (C1+C2)l/2(C_1+C_2)l/2 S侧+S1+S2S_{\text{侧}}+S_1+S_2 h(S1+S2+S1S2)/3h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})/3

C,C1,C2C,C_1,C_2 是相应底面周长，S,S1,S2S,S_1,S_2 为底面积，hh 为空间高，ll 为正锥、正台的斜高。全面积包括所有实际底面与侧面。

侧面积公式由逐面三角形、梯形或矩形面积相加得到。棱台体积可由两个相似棱锥相减证明：设大锥高 HH，小大线性比为 t=S1/S2t=\sqrt{S_1/S_2}，则 h=(1−t)Hh=(1-t)H，体积为 S2H(1−t3)/3S_2H(1-t^3)/3；约去 1−t1-t 得到表中公式。棱柱 ShSh、棱锥 Sh/3Sh/3 是高中基本体积定理。

例：正四棱锥的三种高度相关长度

正四棱锥底边长为 22，高为 33。正方形的外接圆半径为 2\sqrt2、内切圆半径为 11，所以侧棱长为 11\sqrt{11}、斜高为 10\sqrt{10}。

侧面积为四个三角形面积之和，即 4×12×210=4104\times\frac12\times2\sqrt{10}=4\sqrt{10}，体积为 13×4×3=4\frac13\times4\times3=4。把侧棱或斜高代入体积公式中的高，会得到错误结果。面积与体积的通用公式见面积与体积。

直圆柱、直圆锥、直圆台与球

本手册的圆柱、圆锥、圆台默认是直旋转体。

  • 矩形绕一边所在直线旋转得到直圆柱；母线长等于高，轴截面为矩形。
  • 直角三角形绕一直角边旋转得到直圆锥；轴截面为等腰三角形，底半径 rr、高 hh、母线 ll 满足 l2=h2+r2l^2=h^2+r^2。
  • 平行于直圆锥底面的截面截去锥顶得到直圆台；上下底半径 R>r>0R>r>0、高 hh、母线 ll 满足 l2=h2+(R−r)2l^2=h^2+(R-r)^2，轴截面为等腰梯形。
  • 到定点距离等于 R>0R>0 的空间点构成球面，距离不大于 RR 的点构成球体。半圆弧绕其直径旋转生成球面，半圆面绕其直径旋转生成球体。

平面距球心为 dd：d<Rd<R 时截面是半径 R2−d2\sqrt{R^2-d^2} 的圆面，d=Rd=R 时只有一个切点，d>Rd>R 时无交点。截面圆心是球心在截面上的垂足。

圆柱、圆锥、圆台与球的完整公式表

平面图形绕所在平面内定直线旋转所得的几何体称旋转体，定直线为轴。矩形绕一边旋转生成直圆柱，直角三角形绕直角边生成直圆锥，直角梯形绕垂直于底的腰生成直圆台；半圆面绕直径生成球体，半圆弧绕直径生成球面。圆柱、圆锥、圆台侧面上的直线段称母线；圆柱母线平行轴，圆锥母线通过顶点，圆台母线延长后通过原锥顶。

下表半径均为正，hh 为空间高，ll 为母线长。

几何体 母线与高 侧面积 全面积或球面面积 体积
圆柱 l=hl=h 2πrl2\pi rl 2πr(l+r)2\pi r(l+r) πr2h\pi r^2h
圆锥 l2=h2+r2l^2=h^2+r^2 πrl\pi rl πr(l+r)\pi r(l+r) πr2h/3\pi r^2h/3
圆台 l2=h2+(r2−r1)2l^2=h^2+(r_2-r_1)^2 π(r1+r2)l\pi(r_1+r_2)l π(r1+r2)l+π(r12+r22)\pi(r_1+r_2)l+\pi(r_1^2+r_2^2) πh(r12+r1r2+r22)/3\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)/3
球，半径 RR 不适用 不分侧面与底面 4πR24\pi R^2 4πR3/34\pi R^3/3

圆柱侧面展开为长 2πr2\pi r、宽 ll 的矩形；圆锥展开为半径 ll、弧长 2πr2\pi r 的扇形，面积为弧长乘半径的一半；圆台由相似圆锥侧面相减得侧面积，体积由台体公式代入两个圆面积得到。球面积与体积作为高中基本公式使用，不借助本版排除的积分工具推导。

球面与截面。 到球心 OO 距离等于 RR 的点组成球面，小于 RR 在内部，大于 RR 在外部，等于时不能误归外部。距球心 d<Rd<R 的平面截球所得圆的半径为 R2−d2\sqrt{R^2-d^2}，圆心是球心到平面的垂足；d=0d=0 为大圆，0<d<R0<d<R 为小圆；d=Rd=R 相切成一点，d>Rd>R 无交。

球面上两个不同且非对径的点确定唯一大圆；对径点通过无穷多大圆。球面距离是大圆劣弧长 RθR\theta，θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] 为对应球心角（弧度），不同于空间弦长 2Rsin⁡(θ/2)2R\sin(\theta/2)。对径点的最短球面距离为 πR\pi R。

凸多面体的欧拉关系与正多面体限制

凸多面体的顶点、棱、面数分别为 V,E,FV,E,F，满足欧拉关系

V−E+F=2.V-E+F=2.

证明见空间基本元素与欧拉关系。它只计算多面体表面的构成，不能推出各面无限延伸后分割空间的区域数。

若每个面都是正 pp 边形，每个顶点恰有 qq 条棱相接，则数边面关联、边端点关联分别得 pF=2E,qV=2EpF=2E,qV=2E。代入欧拉式，得到

1p+1q=12+1E>12.\frac1p+\frac1q=\frac12+\frac1E>\frac12.

因 p,q≥3p,q\ge3，只有 (p,q)=(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3)(p,q)=(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3) 五种可能，分别对应正四面体、正八面体、正六面体、正二十面体和正十二面体。这个计数给的是必要限制；五种构型确实存在是另一个几何事实，不能只靠整数不等式证明存在。

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