有限小数、循环小数与有理数

小数是实数的表示方式。判断一个数是否有理，需要考察小数是否最终循环；只观察有限位无法作出结论。

最简分数何时化成有限小数

设 $p/q$ 已约成最简分数， $p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N^*$ 。它能表示成有限小数，当且仅当

q=2^a5^b,\qquad a,b\in\mathbb Z_{\ge0}.

若小数在第 $N$ 位结束，则 $p/q=M/10^N$ ，所以 $q\mid10^N$ （用到 $p,q$ 互质）。反过来取 $N\ge\max(a,b)$ ，分母可扩成 $10^N$ 。

例如 $7/40=0.175$ ； $6/15=2/5$ 也是有限小数。必须先约分，不能看到原分母含有因子 $3$ 就断言无限循环。整数对应 $q=1$ ，也符合判据。

只需考察 $0\le p<q$ 。若某一步的余数为 $r_k$ ，下一位数字 $d_{k+1}$ 和余数 $r_{k+1}$ 满足

10r_k=qd_{k+1}+r_{k+1},\qquad0\le d_{k+1}\le9,\quad0\le r_{k+1}<q.

余数为零时除法终止。否则余数只能在 $1,\ldots,q-1$ 中取值，有限步内必有重复。相同余数决定相同的下一位及后续余数，因此从重复处开始，小数位周期性出现。

这里证明的是“最终循环”，开头可以存在不循环的有限段。例如 $1/6=0.1\overline6$ 。循环节从哪里开始、是否最短，需继续检查；不能把任意重复数字当成已经证明的循环节。

设小数整数部分为 $I\ge0$ ，前 $m$ 位非循环部分组成整数 $A$ （允许前导零），后面循环的 $t$ 位组成整数 $B$ ，则

x=I+\frac A{10^m}+\frac B{10^m(10^t-1)}.

证明可把循环尾段写成公比 $10^{-t}$ 的等比和，也可用 $10^{m+t}x-10^mx$ 消去相同尾段。移位相减是对完整小数值操作，不能只对某次截断的有限位操作。

例如 $0.12\overline{03}=12/100+3/(100\cdot99)=397/3300$ 。循环节是两位的 $03$ ，故 $t=2$ ，不能忽略其中的前导零。

结合长除法，得到：一个实数有理，当且仅当它的小数表示有限或最终循环。负数对其绝对值使用同样判据。

约定采用不以无限个 $9$ 结尾的小数表示，表示才是唯一的。例如

0.999\ldots=\sum_{k=1}^{\infty}\frac9{10^k}=1.

因此 $0.25000\ldots=0.24999\ldots$ ，它们是同一个数。可以用有限截断误差验证：截到第 $N$ 位时，与 $1$ 的差是 $10^{-N}$ ，并不存在一个固定的正差。

若两个不同数字序列表示同一数，在首次不同的位置，较大的数字必须恰大 $1$ ；后续位的最大补偿正好是一串 $9$ ，于是只能出现“较大一边全为 $0$ 、较小一边全为 $9$ ”的情况。

给定 $a<b$ ，取正整数 $N$ 使 $N(b-a)>1$ ，令 $k=\lfloor Na\rfloor+1$ ，则

a<\frac kN\le a+\frac1N<b.

故开区间内有有理数 $q=k/N$ 。再取足够大的正整数 $M$ 使 $\sqrt2/M<b-q$ ，则 $q+\sqrt2/M$ 位于同一区间，且为无理数，否则减去 $q$ 再乘以 $M$ 将推出 $\sqrt2$ 有理。

这种性质称为稠密性。它不表示每个数都属于两类，也不表示有限位小数可以判别有理性；两类数互不相交，但都能出现在任意小的开区间中。