复数坐标中的直线、圆与相似变换

复数坐标保留了二维直角坐标的全部信息。用共轭表示实数条件，可以把共线、垂直、圆和相似变换写成简洁的代数式。

共线、垂直与有向角

设 $a\ne b$ 。点 $z$ 在直线 $ab$ 上，当且仅当 $(z-a)/(b-a)$ 为实数，因此直线方程为

(z-a)(\bar b-\bar a)=(\bar z-\bar a)(b-a).

点 $z\ne a$ 时， $az$ 与 $ab$ 垂直，当且仅当上述商为纯虚数，即其与共轭之和为零。零向量没有方向，故谈夹角时必须排除重合点。

复数商的辐角为从向量 $b-a$ 到 $z-a$ 的有向角，按模 $2\pi$ 理解；若只讨论两条直线的夹角，方向还需按模 $\pi$ 处理。

任一直线可写成

\bar u z+u\bar z=c,\qquad u\ne0,\quad c\in\mathbb R.

置 $u=s+ti,z=x+yi$ ，左侧为 $2(sx+ty)$ ，所以就是一般直线方程， $u$ 是法向量对应的复数。

方程 $z\bar z+\bar u z+u\bar z+c=0$ （ $c$ 为实数）等价于

|z+u|^2=|u|^2-c.

右侧正、零、负时，分别表示圆、一个点、空集。不能只见到 $z\bar z$ 就断定它是非退化圆。

设 $|a|=|b|=1,a\ne b$ 。利用 $\bar a=1/a,\bar b=1/b$ ，连接两点的直线可写成

z+ab\bar z=a+b.

单位圆在 $a$ 处的切线为 $z+a^2\bar z=2a$ ，因为这等价于 $\operatorname{Re}(z\bar a)=1$ ，即半径方向上的投影等于一。

若 $a+b\ne0$ ，两点处切线相交于 $z=2ab/(a+b)$ ；其共轭为 $2/(a+b)$ ，代入两条切线即可验证。若 $a+b=0$ ，两点对径，切线平行，没有有限交点。

映射 $w=uz+v$ （ $u\ne0$ ）将任意距离乘以 $|u|$ ，并把所有方向旋转同一角 $\arg u$ ，因此是保向相似变换。映射 $w=u\bar z+v$ 多一次反射，是反向相似变换。

给定不重合的对应点 $a\mapsto A,b\mapsto B$ ，且 $A\ne B$ ，保向相似唯一确定为

w=A+\frac{B-A}{b-a}(z-a).

反向相似唯一确定为

w=A+\frac{B-A}{\bar b-\bar a}(\bar z-\bar a).

例如 $0\mapsto1,1\mapsto1+i$ 的保向变换为 $w=1+iz$ ，把 $i$ 变成 $0$ ；反向变换为 $w=1+i\bar z$ ，把 $i$ 变成 $2$ 。只给两组点时，若不说明是否允许反射，两种相似都可能。