Scholia.
主题目录

坐标轴旋转与二次曲线的交叉项

拓展更新于 2026-09-29

本页目录

倾斜的椭圆或双曲线不一定需要复杂的新公式。选取与曲线对称轴一致的坐标轴，常能把带有 xy 项的方程化成熟悉的标准式。

转动坐标轴时的变换公式

保持原点不动，把原来的两条坐标轴一起逆时针转过 θ\theta。新横轴、纵轴的单位方向在旧坐标中分别是 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)、(−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta,\cos\theta)。同一个点的新坐标为 (X,Y)(X,Y)，旧坐标为 (x,y)(x,y)，于是

x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θ.x=X\cos\theta-Y\sin\theta,\qquad y=X\sin\theta+Y\cos\theta.

反过来，

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θ.X=x\cos\theta+y\sin\theta,\qquad Y=-x\sin\theta+y\cos\theta.

代入验证得 x2+y2=X2+Y2x^2+y^2=X^2+Y^2。长度、角度及图形本身不变，改变的是描述同一个点的坐标。若还要换原点到 (h,k)(h,k)，先用 x−h,y−kx-h,y-k 代替旧坐标，再旋转。

消去二次式的交叉项

对二次部分 Ax2+Bxy+Cy2Ax^2+Bxy+Cy^2 代入旋转公式，XYXY 的系数为

(C−A)sin⁡2θ+Bcos⁡2θ.(C-A)\sin2\theta+B\cos2\theta.

选取 θ\theta 使该式为零，即可消去交叉项。若 A≠CA\ne C，可取满足 tan⁡2θ=B/(A−C)\tan2\theta=B/(A-C) 的角；若 A=C,B≠0A=C,B\ne0，可取 θ=π/4\theta=\pi/4；若 A=C,B=0A=C,B=0，本来没有交叉项。

这里 BB 表示整个 xyxy 项的系数。若原式写为 Ax2+2Hxy+Cy2Ax^2+2Hxy+Cy^2，须先认出 B=2HB=2H。当原方程还有一次项时，旋转后通常仍需配方和平移，并检查是否为空集或退化图形。

例：倾斜椭圆的标准化

研究 x2−xy+y2=1x^2-xy+y^2=1。取 θ=π/4\theta=\pi/4，即 x=(X−Y)/2,y=(X+Y)/2x=(X-Y)/\sqrt2,y=(X+Y)/\sqrt2，得到

12X2+32Y2=1,X22+Y22/3=1.\frac12X^2+\frac32Y^2=1,\qquad \frac{X^2}{2}+\frac{Y^2}{2/3}=1.

故长、短半轴分别为 2,2/3\sqrt2,\sqrt{2/3}，焦半距为 2/32/\sqrt3，离心率为 2/3\sqrt{2/3}。长轴是旧坐标中的 y=xy=x，两个焦点为 (2/3,2/3)(\sqrt{2/3},\sqrt{2/3}) 和它的相反点。

若只看 x2,y2x^2,y^2 的系数相等便判断是圆，就忽略了交叉项对轴向和轴长的影响。

转动点与转动坐标轴的区别

若坐标轴保持不动，实际把点 (x,y)(x,y) 绕原点逆时针转过 θ\theta，新点坐标是

(xcos⁡θ−ysin⁡θ, xsin⁡θ+ycos⁡θ).(x\cos\theta-y\sin\theta,\ x\sin\theta+y\cos\theta).

若点保持不动而坐标轴转过同一角度，则新坐标使用反向公式 (xcos⁡θ+ysin⁡θ,−xsin⁡θ+ycos⁡θ)(x\cos\theta+y\sin\theta,-x\sin\theta+y\cos\theta)。判断符号时可用 (1,0)(1,0) 与 θ=π/2\theta=\pi/2 检查：转动点后是 (0,1)(0,1)；转动坐标轴后同一个点的坐标是 (0,−1)(0,-1)。

绕任意点 PP 旋转时，先对向量 PQ→\overrightarrow{PQ} 使用旋转公式，再加回 PP 的位置向量。

一般二次曲线的分类与退化检查

一般二次方程

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,(A,B,C)≠(0,0,0)Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,\qquad(A,B,C)\ne(0,0,0)

中，B2−4ACB^2-4AC 称二次部分的判别式，不是整个方程的行列式。它在旋转坐标后保持不变，表示二次部分的类型，单凭其符号不能保证存在非退化实曲线。

旋转 x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx=X\cos\theta-Y\sin\theta,y=X\sin\theta+Y\cos\theta 后，混合项系数为 (C−A)sin⁡2θ+Bcos⁡2θ(C-A)\sin2\theta+B\cos2\theta；选择其为零的 θ\theta，再平移配方，即可完整判断：

判别式 非退化实曲线类型 必须同时考虑的退化或空集
B2−4AC<0B^2-4AC<0 椭圆，含圆 一个点或无实点，如 x2+y2=0,−1x^2+y^2=0,-1
B2−4AC=0B^2-4AC=0 抛物线 两条平行线、重合直线或无实点，如 x2=1,0,−1x^2=1,0,-1
B2−4AC>0B^2-4AC>0 双曲线 两条相交直线，如 x2−y2=0x^2-y^2=0

证明要点：消去混合项后，第一类两个平方项同号，配方后看常数；第三类平方项异号，中心平移后常数非零是双曲线、为零则分解成两线；第二类只剩一个平方项，若另一个变量的一次系数非零则为抛物线，否则退为一元二次条件。

如使用矩阵判别，非退化条件是

det⁡(AB/2D/2B/2CE/2D/2E/2F)≠0,\det\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}\ne0,

但它仍不保证有实点，例如 x2+y2+1=0x^2+y^2+1=0。因此应依次检查二次部分的类型、退化条件及实点存在性。

关联阅读

主题目录 · 全站目录