基本对称式、韦达关系与幂和

已知几个数的和、两两乘积之和以及乘积时，往往可以直接求高次幂和，不必先把每个数解出来。

三元基本对称式

对实数或复数 $a,b,c$ ，记

p=a+b+c,\qquad q=ab+bc+ca,\qquad r=abc.

展开可得

(t-a)(t-b)(t-c)=t^3-pt^2+qt-r.

因此，若 $a,b,c$ 为 $At^3+Bt^2+Ct+D=0$ 的三个根，按重数计且 $A\ne0$ ，则 $p=-B/A,q=C/A,r=-D/A$ 。该等式允许重根及非实根，不保证三个根都为实数。

相反，已知 $p,q,r$ 只能确定无序根组，不能擅自固定 $a,b,c$ 的排列。

幂和的有限递推

记 $S_0=3$ ， $S_k=a^k+b^k+c^k$ （ $k\ge1$ ）。因为每个 $u\in\{a,b,c\}$ 都满足 $u^3=pu^2-qu+r$ ，乘以 $u^k$ 后相加得

S_{k+3}=pS_{k+2}-qS_{k+1}+rS_k\qquad(k\ge0).

$k=0$ 的式子直接将三个三次关系相加理解，不涉及 $0^0$ 。起始值为

S_1=p,\quad S_2=p^2-2q,\quad S_3=p^3-3pq+3r.

于是还可推出 $S_4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr$ 。

为什么三元对称多项式能够用基本对称式表示

若多项式 $F(a,b,c)$ 在任意交换变量后都不变，称它为三元对称多项式。每个这样的多项式都能写成 $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$ 的多项式。只在循环换位后不变的式子不一定满足此结论。

下面给出一种有限的构造证明。将单项式按字典顺序排列：先比较 $a$ 的指数，再比较 $b$ 的指数，最后比较 $c$ 的指数。设当前最高项为 $d\,a^\alpha b^\beta c^\gamma$ 。

对称性迫使 $\alpha\ge\beta\ge\gamma$ 。例如若 $\beta>\alpha$ ，交换 $a,b$ 后会出现更高项，矛盾；若 $\gamma>\beta$ ，交换 $b,c$ 也得到矛盾。

多项式

d\,p^{\alpha-\beta}q^{\beta-\gamma}r^\gamma

的最高项恰是 $d\,a^\alpha b^\beta c^\gamma$ ： $p$ 的最高项为 $a$ ， $q$ 的最高项为 $ab$ ， $r=abc$ 。从 $F$ 中减去它，最高项消失，剩余多项式仍对称，而且次数没有增加。

反复做此操作。次数不超过原次数的单项式只有有限个，最高项每次严格下降，所以过程必在有限步结束。把每次减掉的 $p,q,r$ 多项式相加，就得到所求表示。常数项在最后直接保留。

实际计算低次式时，通常使用前面的幂和递推和八条对称恒等式，比逐项消去更短。这个定理保证可表示，并不保证换元后的不等式自动变简单，也不允许忽略新变量之间的约束。

任意有限个变量的推广

对 $n$ 个变量 $x_1,\ldots,x_n$ ，定义基本对称式

e_k=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}x_{i_1}\cdots x_{i_k},\qquad k=1,\ldots,n.

任意 $n$ 元对称多项式都能表示为 $e_1,\ldots,e_n$ 的多项式。证明沿用同一有限消去过程：字典序最高项 $d x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ 的指数必须满足 $\alpha_1\ge\cdots\ge\alpha_n$ ，而

d\,e_1^{\alpha_1-\alpha_2}e_2^{\alpha_2-\alpha_3}\cdots e_{n-1}^{\alpha_{n-1}-\alpha_n}e_n^{\alpha_n}

的最高项恰好与之相同。减去后仍对称，次数不增、最高项下降，因此有限步结束。该证明同时适用于实系数和复系数；整系数情形每一步仍保持整系数。

例：不求根计算四次幂和

若 $a,b,c$ 是 $t^3-3t+1=0$ 的三个根，则 $p=0,q=-3,r=-1$ 。因而

S_0=3,\quad S_1=0,\quad S_2=6,\quad S_3=-3,\quad S_4=18.

求 $a^4+b^4+c^4$ 的结果为 $18$ ；不需要三次方程求根公式。

对称换元后的可行性

把 $a,b,c$ 换成 $p,q,r$ 后，三个新量并非可以任取。例如 $a,b,c$ 为实数时，

p^2-3q=\tfrac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr)\ge0.

若还要求 $a,b,c>0$ ，则 $p,q,r>0$ ，但只检查这三个正号仍不足以保证存在三个正实根。解对称方程时必须回到原变量检验。

一般牛顿幂和公式与初值

设首一多项式 $P(x)=x^n+c_1x^{n-1}+\cdots+c_n$ 的复根为 $r_1,\ldots,r_n$ （按重数），定义 $S_0=n$ 、 $S_k=\sum_i r_i^k$ （ $k\ge1$ ）。牛顿公式为

S_k+c_1S_{k-1}+\cdots+c_{k-1}S_1+kc_k=0\qquad(1\le k\le n),

S_k+c_1S_{k-1}+\cdots+c_nS_{k-n}=0\qquad(k>n).

第一式在 $k=1$ 时指 $S_1+c_1=0$ ；在 $k=n$ 时的末项 $nc_n=c_nS_0$ ，正好衔接第二式。不能把 $S_0$ 错写成 $1$ 。

证明。 记 $E(t)=\prod_i(1-r_it)=1+c_1t+\cdots+c_nt^n$ ，由乘积求导

-E'(t)=\sum_i r_i\prod_{j\ne i}(1-r_jt).

对任意整数 $M\ge0$ ，有限等比恒等式给出

(1-r_it)\sum_{j=0}^M r_i^{j+1}t^j=r_i-r_i^{M+2}t^{M+1}.

乘上其他因子后对 $i$ 求和，得到 $E(t)\sum_{j=0}^M S_{j+1}t^j$ 与 $-E'(t)$ 的差含因子 $t^{M+1}$ 。比较 $t^{k-1}$ 系数（取 $M\ge k-1$ ）： $k\le n$ 时右侧系数为 $-kc_k$ ， $k>n$ 时为零，恰得两组公式。这只使用有限多项式恒等式，不引入无穷级数。

若求负整数次幂和，须先确认所有根非零，改用倒数根对应的多项式；有零根时负幂没有定义。