切比雪夫多项式与多倍角

把余弦的多倍角写成余弦值的多项式，可以联系三角恒等式、多项式的根与区间最值。这里只讨论有限递推及其初等性质。

递推定义与多倍角恒等式

令 $T_0(x)=1,T_1(x)=x$ ，对 $n\ge1$ 定义

T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x).

由 $\cos((n+1)\theta)+\cos((n-1)\theta)=2\cos\theta\cos(n\theta)$ ，归纳得

T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta).

前几项为 $T_2=2x^2-1$ 、 $T_3=4x^3-3x$ 、 $T_4=8x^4-8x^2+1$ 。递推定义使 $T_n$ 对所有实数或复数 $x$ 都有意义；用 $x=\cos\theta$ 作实角换元时，则只覆盖 $[-1,1]$ 。

次数、首项系数与奇偶性

对 $n\ge1$ ， $T_n$ 恰为 $n$ 次多项式，首项系数为 $2^{n-1}$ 。由 $T_1=x$ 开始归纳， $2xT_n$ 的次数为 $n+1$ ，而 $T_{n-1}$ 次数为 $n-1$ ，两者最高次项不可能相消，故次数升一、首项系数乘二。

递推还给出 $T_n(-x)=(-1)^nT_n(x)$ 。所以偶数下标对应偶多项式，奇数下标对应奇多项式。不能仅把两个多项式的次数取最大，就忽略乘上的 $x$ 或可能的抵消。

全部零点与实因式分解

对 $n\ge1$ ，令

x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n},\qquad k=1,\ldots,n.

这些角都在 $(0,\pi)$ 内，余弦严格递减，故 $x_k$ 互异；又 $T_n(x_k)=\cos((2k-1)\pi/2)=0$ 。因 $T_n$ 次数为 $n$ ，已找到全部根，且都是单根。因此

T_n(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^n\left(x-\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right).

下标从 $1$ 到 $n$ 与角 $(2k-1)\pi/(2n)$ 配套；改变起止下标时必须同时改变表达式，否则可能重复或漏根。

区间上的界、交替取值与复合

任意 $x\in[-1,1]$ 可写成 $\cos\theta$ ，所以 $|T_n(x)|\le1$ 。当 $n\ge1$ ，在 $x_j=\cos(j\pi/n)$ （ $j=0,\ldots,n$ ）处，有 $T_n(x_j)=(-1)^j$ ，端点到端点交替取到上下界。

对非负整数 $m,n$ ，先令 $x=\cos\theta$ ，得到 $T_m(T_n(x))=T_{mn}(x)$ ；两边是多项式且在无穷多个 $x\in[-1,1]$ 上相等，因而对所有 $x$ 恒等。

这些性质解释了它在多项式一致界中的作用。更进一步的最优逼近结论须另行证明，不能仅由交替取值就自动宣称任意目标最优。

例：三倍角方程的完整实根

解 $4x^3-3x=1/2$ 。先证明区间外无根： $x>1$ 时， $4x^3-3x=x+4x(x^2-1)>1$ ；由奇性， $x<-1$ 时小于 $-1$ 。

于是令 $x=\cos\theta$ 、 $0\le\theta\le\pi$ ，方程变为 $\cos3\theta=1/2$ 。在 $0\le3\theta\le3\pi$ 内，角为 $\pi/3,5\pi/3,7\pi/3$ ，故全部根为

\cos\frac\pi9,\qquad\cos\frac{5\pi}9,\qquad\cos\frac{7\pi}9.

换元前先排除区间外根，换元后保留角的范围，才能保证没有遗漏。

正弦多倍角为什么要分奇偶

对正整数 $n$ ，由棣莫弗公式取虚部，得到有限和

\sin(n\theta)=\sum_{j=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(-1)^j\binom n{2j+1}(\cos\theta)^{n-2j-1}(\sin\theta)^{2j+1}.

当 $n$ 为奇数，余弦的指数都是偶数，可用 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ 消去余弦，成为 $\sin\theta$ 的整系数多项式。更直接地，

\sin(n\theta)=(-1)^{(n-1)/2}T_n(\sin\theta).

这是把 $\sin\theta=\cos(\pi/2-\theta)$ 代入 $T_n$ 的恒等式得到的，所以次数确为 $n$ 。

当 $n$ 为偶数，每项的余弦指数均为奇数，提出一个 $\cos\theta$ 后，其余都可改写成 $\sin\theta$ 的多项式。括号内次数不超过 $n-1$ ，并且最高次系数为 $(-1)^{(n-2)/2}2^{n-1}$ ：展开各偶次余弦因子后，最高次项的符号相同，系数绝对值是奇数下标组合数之和。因此括号内次数恰为 $n-1$ 。

例如 $\sin4\theta=\cos\theta(4\sin\theta-8\sin^3\theta)$ 。这解释了偶数倍角不能普遍只用单个 $\sin\theta$ 的多项式表示。