均匀模型与正态分布

区间均匀分布

设 $a<b$。随机变量 $X$ 在 $[a,b]$ 上均匀分布，表示等长的子区间具有相同概率，且落在整个 $[a,b]$ 内的概率为1。记作 $X\sim U(a,b)$。

对任意实数 $c\le d$，

分子是 $[c,d]\cap[a,b]$ 的长度；交集为空时长度为零。只有 $[c,d]\subseteq[a,b]$ 时，才可以简写成 $(d-c)/(b-a)$。

公式的含义。 把 $[a,b]$ 等分为 $m$ 段，每段概率为 $1/m$，连续 $r$ 段概率为 $r/m$，等于长度比。任意端点的区间可由两侧的等分点区间夹逼，因此仍遵循同一长度比例。

单点长度为零，故 $P(X=c)=0$；开闭端点不影响区间概率。例如 $X\sim U(0,10)$ 时，$P(2\le X\le5)=3/10$，$P(-2\le X\le3)=3/10$，后一式不能使用 $5/10$，因为负数部分不属于可能取值范围。

正态分布的定义与参数

设 $\mu\in\mathbb R,\sigma>0$。如果随机变量 $X$ 的概率密度为

则称 $X$ 服从正态分布，记作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$。密度的含义是：区间概率等于该区间上曲线与横轴围成的面积；曲线本身的高度不是单点概率。

本节采用正态分布的基本结论：该密度总面积为 $1$，期望为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。这些结论的积分证明不属于本轮范围。由表达式可直接看出曲线关于 $x=\mu$ 对称，在中心处最高，向两侧降低。$\sigma$ 增大时曲线横向展开，峰值 $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$ 降低。

标准化与概率转换

令 $Z=(X-\mu)/\sigma$，则 $Z\sim N(0,1)$。从面积模型理解，横坐标缩小为原来的 $1/\sigma$，密度高度相应乘 $\sigma$，面积保持不变，得到标准正态密度 $e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$。因此

记标准正态的累计概率为 $\Phi(z)=P(Z\le z)$。由对称性与单点概率为零，

这里 $a<b$，$\sigma>0$ 保证标准化不改变不等号方向。

常用区间概率与模型边界

下表为正态模型的常用近似值，适用于任意 $\mu\in\mathbb R,\sigma>0$：

对称性使左右尾部各占表中最后一列的一半。单点概率为零，所以开闭端点不影响这些概率。

这些数值来自正态概率表，应作为近似值使用，不能用于任意分布。“三倍标准差之外很少见”不表示不可能。总体参数 $\mu,\sigma$ 可以用样本估计，但不同于某一次抽样的样本均值、标准差；仅凭有限样本看起来对称也不能证明总体服从正态。