用导数研究单调性、极值与最值

导数、单调性与局部极值

设 $f$ 在区间 $I$ 内可导。由本篇给出的中值定理可得单调性判定：$f'\ge0$ 时 $f$ 非减，$f'\le0$ 时 $f$ 非增；特别地，处处 $f'>0$ 时严格递增，处处 $f'<0$ 时严格递减。

条件须在一个区间上成立，不能把被无定义点隔开的若干区间直接合并。严格递增也不要求每一点导数都大于零，例如 $x^3$ 在实数域严格递增，但零点导数为零。

极值与驻点

若在 $x_0$ 的某个邻域内，都有 $f(x)\le f(x_0)$，称 $f(x_0)$ 为局部极大值；将不等号反向得到局部极小值。本页采用允许邻近点相等的非严格定义。若对邻域中所有 $x\ne x_0$ 都严格不等，则称严格局部极值。

可导且位于定义区间内部的极值点必满足 $f'(x_0)=0$，这样的点称为驻点。以极大值为例：正增量对应的差商不大于零，负增量对应的差商不小于零；两侧若趋于同一个导数，该导数只能是零。

驻点未必为极值点。例如 $f(x)=x^3$ 在零点有 $f'(0)=0$，但函数从负值连续增至正值，没有极值。不可导点也可能是极值点，例如 $|x|$ 的零点。

用导数符号变化判定

设 $f$ 在 $x_0$ 连续，并在两侧的某个去心邻域内可导：

依据是相应区间内的单调性与连接点的连续性。前两行是充分条件，不能把它们说成任意可导函数取得极值的唯一方式。

闭区间最值

连续函数在闭区间上有最大值和最小值，这是本页采用的基本定理。求解时比较端点、区间内驻点及不可导点的函数值；驻点有限时可以逐个列表。最值必须在整个给定范围比较，不能只从某个局部极值决定。

二阶导数判别极值

设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内可导，$f'$ 在 $x_0$ 可导，并且 $f'(x_0)=0$。

• 若 $f''(x_0)>0$，则 $x_0$ 为严格极小值点。
• 若 $f''(x_0)<0$，则 $x_0$ 为严格极大值点。
• 若 $f''(x_0)=0$，这个判别法不能给出结论。

证明。 由二阶导数定义，

当右边为正时，充分小的非零 $h$ 使这个商为正。由于 $f'(x_0)=0$，左侧 $h<0$ 时 $f'(x_0+h)<0$，右侧 $h>0$ 时 $f'(x_0+h)>0$。据一阶导数变号判别，得到严格极小值。右边为负时，导数左正右负，得到严格极大值。证明不要求二阶导数在整个邻域连续。

$x^4,-x^4,x^3$ 在零点均有一阶、二阶导数为零，却分别取得极小值、极大值、没有极值，说明零值情形必须进一步分析。