样本空间、事件与概率模型

随机试验、样本空间与事件

一次随机试验的所有可能结果组成样本空间，记作 $\Omega$。其中每个基本结果称为样本点。事件是样本空间的子集：试验结果落在这个子集内，就称事件发生。

例如掷一枚骰子，可取 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$；事件“出现偶数”为 $A=\{2,4,6\}$。必然事件为 $\Omega$，不可能事件为空集 $\varnothing$。

$A\cap B=\varnothing$ 时称两事件互斥；若还满足 $A\cup B=\Omega$，则互为对立事件。互斥不要求它们覆盖全部结果。

概率与基本运算法则

概率 $P(A)$ 描述事件发生的可能程度。有限模型中，给每个样本点赋非负概率，使其总和为 $1$，事件概率为所含样本点的概率之和。因此

互斥事件没有重复样本点，所以概率可相加。$A$ 与 $A^c$ 互斥且并为全集，故 $P(A^c)=1-P(A)$。一般地，$P(A)+P(B)$ 把交集计算了两次，减去一次得

古典概型与几何概型

若样本空间有限且各样本点等可能，则每点概率为 $1/|\Omega|$，从而

有限性和等可能性缺一不可。把基本结果合并成类别后，各类不一定等可能，不能直接按类别数作比。

几何概型还需规定相对于什么量均匀。例如点在有限面积区域内均匀选取，事件概率才是相应区域的面积比。不同的随机选择方式可能产生不同分布，不能仅凭图形断言“均匀”。频率可以用于估计概率，但一次有限试验中的频率并不等于概率的定义值。

互斥、对立和独立怎样区分

掷一枚骰子，事件 $A=\{1\}$、$B=\{2\}$ 互斥，但不对立，因为还有 $3,4,5,6$；$A$ 的对立事件是 $\{2,3,4,5,6\}$。

互斥描述不能同时发生，独立描述 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。若 $P(A)>0$、$P(B)>0$ 且二者互斥，则左边为 $0$、右边为正数，必不独立。反过来，掷两枚独立骰子，“第一枚为偶数”与“第二枚为偶数”独立，却可以同时发生。

对“至少一个”常用对立事件：三次独立试验成功率均为 $p$，至少成功一次的概率为 $1-(1-p)^3$。先确认独立性，才能把三次失败概率相乘。