复平面、模与轨迹

复平面中的点与向量

在平面直角坐标系中，用点 $Z(a,b)$ 表示复数 $z=a+bi$。每个复数确定唯一的点，每个点也对应唯一的复数，这个平面称为复平面。横轴称实轴，纵轴称虚轴；两轴都包含原点。非零纯虚数对应虚轴上除原点之外的点。

复数也可对应从原点 $O$ 出发的向量 $\overrightarrow{OZ}=(a,b)$。当两个复数相加减时，实部、虚部分别相加减，恰好与向量的坐标运算一致。若 $z_1,z_2$ 对应 $Z_1,Z_2$，则

因此

共轭 $\bar z=a-bi$ 对应点 $(a,-b)$，表示关于实轴的反射；$-z$ 对应关于原点的中心对称，$-\bar z$ 对应关于虚轴的反射。

距离条件怎样变成轨迹

设 $z=x+iy$，$z_0=a+bi$ 为定点。由距离公式，

$r>0$ 时是圆心为 $z_0$、半径为 $r$ 的圆；$r=0$ 时只有点 $z_0$；$r<0$ 时无解。相应地，$|z-z_0|<r$ 表示开圆盘，$|z-z_0|\le r$ 表示闭圆盘（这两种通常取 $r>0$）。

若定点 $z_1=a+bi,z_2=c+di$ 不同，则

推导只须把两边平方并消去 $x^2+y^2$；因两边原本非负，平方等价。这条直线是线段 $Z_1Z_2$ 的垂直平分线。若两定点重合，等式恒成立，轨迹变为整个复平面。

模长不等式及完整等号条件在复数运算中统一陈述和证明；使用不等式求轨迹最值时，还须检验取等点是否满足原条件。

旋转伸缩与三角函数的复数表示

乘除法的几何意义

设非零复数 $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，$r>0$。由三角形式乘法公式，乘以 $w$ 将每个表示 $z$ 的向量绕原点逆时针旋转 $\theta$，再把长度乘以 $r$；负角表示顺时针旋转。除以 $w$ 则旋转 $-\theta$ 并把长度乘以 $1/r$。乘零将所有点送至原点，此时没有可指定的旋转角。

例如乘 $i$ 对应逆时针旋转 $90^\circ$，乘 $-1$ 对应旋转 $180^\circ$，乘 $2$ 对应长度扩大为两倍。这些几何动作都以原点为中心；绕其他点旋转须先平移，见复数与相似变换。

由单位圆复数表示三角函数

令 $z=\cos\theta+i\sin\theta$，则 $|z|=1$，$\bar z=1/z$。由 $z+\bar z=2\cos\theta$ 和 $z-\bar z=2i\sin\theta$，分别得到

两式相除，得到

正切式要求 $z^2+1\ne0$，余切式要求 $z^2-1\ne0$，正好分别对应各自的定义条件。这个转换把三角恒等式变成单位圆上复数的代数恒等式，使用时必须保留 $|z|=1$。