三角图像、方程与辅助角

六种三角函数的图像性质

以下 $k\in\mathbb Z$；区间整体加 $2k\pi$ 表示所有平移后的区间，各分支不得跨越无定义点合并。

零点、最值与对称性

以下 $k\in\mathbb Z$。对称中心允许不在函数图像上，例如正切图像的某些对称中心位于无定义的竖线上。

正切、余切没有最大值和最小值；正割、余割也都向正、负两侧无界，不能把值域边界 $1,-1$ 当作全局最值。

性质的依据

正弦、余弦的单调方向由单位圆纵坐标、横坐标随旋转的变化得到。对同一正切分支内 $x<y$，

因为 $0<y-x<\pi$，两余弦同号。对同一余切分支有

正割、余割是在固定符号区间上取倒数，方向与分母的单调方向相反；这一判断不能跨越零分母。

诱导公式给出周期、奇偶和对称关系。例如 $\sin(\pi/2+t)=\sin(\pi/2-t)$ 给正弦对称轴，而 $\tan(\pi/2+t)=-\tan(\pi/2-t)$ 给正切在 $(\pi/2,0)$ 的中心对称；关系只在两边均有定义处使用。加整周期得到其余对称位置。

证明周期最小时，还要排除更小的正周期。若 $T>0$ 为余弦周期，则 $\cos T=\cos0=1$，所以 $T$ 必是 $2\pi$ 的正整数倍。正弦在 $x=\pi/2$ 处取值 $1$，同样迫使 $T\in2\pi\mathbb Z$。正割、余割分别由 $\sec T=1$、$\csc(\pi/2+T)=1$ 得到相同限制。正切由 $\tan T=0$、余切由 $\cot(\pi/2+T)=0$，得到 $T\in\pi\mathbb Z$。

四种反三角函数的主值区间、单调性和复合规则集中在反三角函数中。定义反函数时必须先选取单射分支。

正弦型函数的图像变换

设

其振幅为 $|A|$，中线为 $y=d$，全域值域为 $[d-|A|,d+|A|]$，最小正周期为 $2\pi/|\omega|$。相位 $\omega x+\varphi$ 变化一个整周时，函数完成一次完整振荡。

先确定点如何移动

$y=\sin t$ 上的点 $(t,\sin t)$ 对应到新图像的点

这条对应能避免把平移量 $\varphi$ 与 $\varphi/\omega$ 混淆。以 $\omega>0$ 为例，可以先把横坐标除以 $\omega$，再水平平移 $-\varphi/\omega$；随后将纵坐标乘以 $A$，再向上平移 $d$。$A<0$ 时还包含关于水平轴的反射；$\omega<0$ 时横向比例为负，也包含左右反射。

从基本图像读取性质

当 $A>0,\omega>0$ 时，将相位 $t=\omega x+\varphi$ 放入正弦的各单调区间，即可解出 $x$ 的单调区间。若 $A<0$ 或 $\omega<0$，每出现一次负号，递增与递减的方向交换一次。

对称轴满足

对称中心为

验证对称中心只需观察其左右等距点的相位分别为 $k\pi\pm\omega h$，两正弦值互为相反数。对称轴左右的相位分别为 $\pi/2+k\pi\pm\omega h$，两正弦值相等。

若 $A=0$ 或 $\omega=0$，函数为常函数，没有最小正周期，不能套用上面的周期公式。余弦型函数可先用 $\cos t=\sin(t+\pi/2)$ 化为同一形式。

由图像确定参数时如何消除多解

对 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+d$，通常约定 $A>0,\omega>0$。最高、最低值给出 $A=(y_{\max}-y_{\min})/2$、$d=(y_{\max}+y_{\min})/2$；相邻两个同类极值点的横坐标差才是一个周期，随后 $\omega=2\pi/T$。

用一个点求 $\varphi$ 往往有多个候选，还须结合该处上升还是下降，或相邻极值的位置。图像与中线 $y=d$ 的相邻两个交点相距半个周期；不相邻交点的距离可能是半周期的整数倍。若 $d\ne0$，与 $x$ 轴的交点不再等同于中线交点，不能把两个相邻零点的距离直接当作半周期。

辅助角公式及完整退化条件

设 $a,b\in\mathbb R$ 不同时为零，$R=\sqrt{a^2+b^2}$，选择满足

的角 $\varphi$，则

两条件能同时成立，是因为它们的平方和为1。由正弦和角式展开右边，即为左边。$a,b>0$ 时可取第一象限角；一般情形须用两个符号共同确定象限，不能只写 $\tan\varphi=b/a$，因为 $a$ 可能为零且正切不能区分相差 $\pi$ 的角。

若 $x$ 遍历实数，则值域 $[-R,R]$，上、下端分别要求 $x+\varphi=\pi/2+2k\pi$ 和 $3\pi/2+2k\pi$。若 $x$ 有区间限制，应先平移成相位区间，再检查端点和相位极值点；振幅只给全局界，未必在该区间达到。$a=b=0$ 时函数恒为零，辅助角无需也无法按上述比值唯一确定。

三角变形可按目标选取：和差倍半角公式统一角；倒数商关系与万能公式统一函数名称；和积公式改变代数结构。使用分式变形时同步保留排除的角。

常见特殊系数对应的形式为

这六式分别将相应特殊角的正弦、余弦代入和差角公式即可验证。它们对所有实数 $x$ 成立；应用于给定区间的最值时仍须检查相位范围。

四种基本三角方程的全部实数解

下列 $k\in\mathbb Z$，反三角函数采用主值约定。

前两式在 $|a|>1$ 时无实数解；$a=\pm1$ 时两支表示可能重复，作为解集只算一次。

为什么不能只保留反三角函数的一个值

单位圆上纵坐标相同的两点关于纵轴对称，所以

取 $\alpha=\arcsin a$，将偶数、奇数下标合并，就得到表中正弦通解。横坐标相同的两点关于横轴对称，所以

正切相同表示终边所在直线斜率相同，终边可同向或反向，因此两角相差 $k\pi$；余切在每个长度为 $\pi$ 的分支上一一对应，同样得到表中通解。

一般方程的处理顺序

先记下原式的定义域，再用恒等变换化为基本方程。求出相位的所有解后，解回自变量，最后筛选题目规定的区间和原式的非零条件。

平方可能引入符号不符的根，除以 $\sin x$ 或 $\cos x$ 可能漏根，半角正切换元可能遗漏奇数倍 $\pi$。这些操作都要回到原式检查，不能只验证变形后的方程。