舒尔不等式、对称换元与调整法

舒尔不等式的完整条件

设 $a,b,c\ge0$ 、 $t>0$ ，则

a^t(a-b)(a-c)+b^t(b-c)(b-a)+c^t(c-a)(c-b)\ge0.

表达式完全对称，可设 $a\ge b\ge c$ 。前两项合并为

(a-b)\bigl(a^t(a-c)-b^t(b-c)\bigr)\ge0,

第三项也非负，得证。等号为三数相等，或其中一数为零、另两数相等。

若 $a,b,c>0$ ，结论还对任意实数 $t$ 成立： $t<0$ 时将后两项合并为 $(b-c)[c^t(a-c)-b^t(a-b)]\ge0$ ，剩余首项非负； $t=0$ 时和为三对差平方和的一半。这两种情况下等号均只在三数相等时成立。不能给零底数取负次幂。

对称换元的八条常用恒等式

设 $a,b,c$ 为实数，记 $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$ 。以下 $\sum_{\rm cyc}$ 表示按 $(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b)$ 三次循环求和， $S_k=a^k+b^k+c^k$ 。

\begin{aligned} S_2&=p^2-2q,\\ a^2bc+b^2ca+c^2ab&=pr,\\ (a+b)(b+c)(c+a)&=pq-r,\\ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)&=pq-3r,\\ S_3&=p^3-3pq+3r,\\ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2&=q^2-2pr,\\ a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(c+a)&=pq^2-2p^2r-qr,\\ S_4&=p^4-4p^2q+2q^2+4pr. \end{aligned}

推导

展开 $p^2$ 得第一式；第二式提出 $abc$ 得 $pr$ 。第三式将各因子写成 $p-c,p-a,p-b$ ，展开为 $p^3-p\,p^2+qp-r=pq-r$ 。第四式将 $a+b$ 写成 $p-c$ ，循环相加为 $pq-3r$ 。

展开 $p^3=S_3+3\sum_{\rm cyc}ab(a+b)+6r$ ，代入第四式得到第五式。第六式由 $q^2=\sum_{\rm cyc}a^2b^2+2abc(a+b+c)$ 得到。

第七式写成 $p\sum_{\rm cyc}a^2b^2-\sum_{\rm cyc}a^2b^2c$ ，其中后一项为 $qr$ ，再代入第六式。最后用 $S_4=S_2^2-2\sum_{\rm cyc}a^2b^2$ ，代入第一、第六式并展开，即得第八式。

这些恒等式对负数乃至复数也成立；下一节的不等式则有额外的非负条件，二者不能混用。

非负变量下的八条基本约束

设 $a,b,c\ge0$ ， $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$ 。常用约束及取等情形如下。

不等式	等号条件
$p^2\ge3q$	$a=b=c$
$p\ge3\sqrt[3]r$	$a=b=c$
$q\ge3\sqrt[3]{r^2}$	$a=b=c$ ，或至少两个变量为零
$pq\ge9r$	$a=b=c$ ，或至少两个变量为零
$q^2\ge3pr$	$a=b=c$ ，或至少两个变量为零
$pq-r\ge\frac89pq$	$a=b=c$ ，或至少两个变量为零
$p^3-4pq+9r\ge0$	三数相等，或一数为零、另两数相等
$p^4-5p^2q+4q^2+6pr\ge0$	三数相等，或一数为零、另两数相等

前六条的证明与零值检查

第一条由 $p^2-3q=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2$ 得到。第二条是三数均值不等式。第三条对 $ab,bc,ca$ 使用均值不等式；取等要求 $ab=bc=ca$ ，这既可能是三数相等，也可能是至少两数为零。

第二、第三条相乘得到第四条。若 $r>0$ ，取等要求三数相等；若 $r=0$ ，取等要求 $pq=0$ ，因非负性等价于至少两数为零。第五条把第一条应用于 $ab,bc,ca$ ；第六条与第四条只是移项后的同一个不等式。由 $(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r$ ，第六条还写作

(a+b)(b+c)(c+a)\ge\frac89(a+b+c)(ab+bc+ca).

三次、四次舒尔的换元

由前面的恒等式表，

\begin{aligned} \sum_{\rm cyc}a(a-b)(a-c) &=2S_3-pS_2+3r=p^3-4pq+9r,\\ \sum_{\rm cyc}a^2(a-b)(a-c) &=2S_4-pS_3+pr=p^4-5p^2q+4q^2+6pr. \end{aligned}

将舒尔不等式分别取 $t=1,2$ ，便得到最后两条及其等号条件。

这些约束可用来放缩，但不是 $p,q,r$ 可任意取值的充分条件。换元求极值时，候选值还须能还原为满足原范围的 $a,b,c$ 。

一次调整如何写成证明

固定 $b+c=s$ ，令 $b=s/2+u,c=s/2-u$ ，则 $bc=s^2/4-u^2$ 。这说明取平均保留和并增大积。若约束为非负，还须保证 $|u|\le s/2$ 。

例如非负 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=p$ ，令 $b,c$ 平均后，

abc\le a\left(\frac{p-a}{2}\right)^2.

要得全局最大值还需比较 $a$ ：由均值不等式应用于 $a,(p-a)/2,(p-a)/2$ ，右侧不超过 $(p/3)^3$ 。只有 $a=b=c=p/3$ 取等（ $p=0$ 时三数全零）。调整只解决其中一步，不能省去剩余变量的讨论。

保持和或积的反复调整

设可行集为 $D$ ，目标函数为 $F$ 。一次调整 $u\mapsto v$ 必须同时验证 $v\in D$ 与所需方向，例如 $F(u)\ge F(v)$ 。若连续调整得到 $u^{(k)}\to v\in D$ ，且 $F$ 在 $v$ 连续，那么

F(u^{(0)})\ge F(u^{(k)})\longrightarrow F(v).

收敛性、约束和连续性是这一步的条件，单凭每次目标值下降不能推出各变量收敛。

固定和：把最大项与最小项取平均

设 $n\ge2$ ，初始数为实数 $x_1,\ldots,x_n$ ，平均值为 $\mu$ 。每步把当时最大项 $M$ 、最小项 $m$ 同时换为 $(M+m)/2$ ，其他项不动。总和不变，且所有项始终在初始最小值与最大值之间。记偏差平方和 $V=\sum(x_i-\mu)^2$ ，则一步后

V_{\mathrm{new}}=V-\frac{(M-m)^2}{2}.

因为 $m\le\mu\le M$ ，有 $V\le n(M-m)^2$ ，从而

0\le V_{\mathrm{new}}\le\left(1-\frac1{2n}\right)V.

反复使用得 $V_k\le(1-1/(2n))^kV_0\to0$ ，于是每一项都趋于 $\mu$ 。因此，只要另证每步调整使 $F$ 不增、没有破坏其他约束，且 $F$ 连续，就能推出 $F(x_1,\ldots,x_n)\ge F(\mu,\ldots,\mu)$ 。

固定正积：把两项换成几何平均

当所有 $x_i>0$ ，将最大项、最小项换成 $\sqrt{Mm}$ 保持乘积。令 $y_i=\ln x_i$ ，该操作正好把最大、最小的两个 $y_i$ 取算术平均。由刚才的证明， $y_i$ 趋于其平均值，所以 $x_i$ 趋于原几何平均值。应用于具体目标时，仍须证明该操作使目标按所需方向变化。

完全对称式允许重排变量；仅有循环对称时，不能把任意两项交换到指定位置后仍宣称原式不变。

对称不等于等变量取最值

在 $a,b,c\ge0,a+b+c=1$ 下， $a^2+b^2+c^2$ 的最小值为 $1/3$ ，在相等点取得；最大值却为 $1$ ，在边界 $(1,0,0)$ 及其排列取得。因为平方和等于 $1-2(ab+bc+ca)\le1$ 。

反复调整再取极限时，必须另证调整序列收敛、极限仍满足约束、目标函数可传递不等式。本页已经给出最大、最小项反复平均时的收敛证明；对其他调整规则，仍须建立它自己的收敛依据，不能只说“最终会相等”。

完全对称允许任意交换变量；轮换式一般只允许循环换位。不能仅因轮换就假设 $a\ge b\ge c$ 。