取整函数的恒等式与估计

用整数与小数部分拆分

设 $x=m+u,y=n+v$，其中 $m,n\in\mathbb Z$，$u,v\in[0,1)$。于是

最后一项只能为 $0$ 或 $1$。因此

左侧取等当且仅当 $u+v<1$；右侧取等当且仅当 $u+v\ge1$。同时 $\{x+y\}=u+v-\lfloor u+v\rfloor\le u+v$。

对任意正整数 $N$ 和实数 $x_i$，同理有

这里不要求 $x_i$ 非负。将 $x_i=m_i+u_i$、$0\le u_i<1$ 代入，还得到完整的多项形式

取整差为零，以及小数部分不等式取等，都表示没有进位，当且仅当 $\sum u_i<1$；取整差达到上界 $N-1$ 当且仅当 $N-1\le\sum u_i<N$。令各个 $x_i=x$，得

两式取等均等价于 $N\{x\}<1$。这组性质依赖 $N$ 为正整数。

整数平移与正整数除法

对整数 $k$，$\lfloor x+k\rfloor=\lfloor x\rfloor+k$，$\{x+k\}=\{x\}$。对正整数 $N$，

证明：作整数除法 $\lfloor x\rfloor=Nq+r$，$0\le r<N$。则 $x/N=q+(r+\{x\})/N$，最后一项在 $[0,1)$ 内。

正整数条件不能改成“任意整数”：$N=0$ 无定义；$x=1/2,N=-1$ 时左侧为 $-1$，右侧为 $0$。

埃尔米特恒等式

对实数 $x$ 和正整数 $N$，

写 $x=m+u$，$m\in\mathbb Z,0\le u<1$，再写 $Nu=j+v$，$j\in\{0,\ldots,N-1\},0\le v<1$。每项的整数部分为 $m$ 或 $m+1$，后者恰好对应 $k=N-j,\ldots,N-1$，共 $j$ 项（$j=0$ 时为空）。总和为 $Nm+j=\lfloor Nx\rfloor$。

例如 $N=4,x=-0.3$，四项为 $-1,-1,0,0$，和为 $-2=\lfloor-1.2\rfloor$。

第 n 个非平方正整数

把不是完全平方数的正整数依次排列，记第 $n$ 个为 $a_n$，其中 $n\ge1$。则

证明：令 $k=\lfloor\sqrt n+1/2\rfloor$。由 $k-1/2\le\sqrt n<k+1/2$，结合 $n$ 为整数，得到 $k^2-k<n\le k^2+k$。因此

在不超过 $n+k$ 的正整数中恰有 $k$ 个平方数，故非平方数恰有 $n$ 个，而且 $n+k$ 本身非平方，所以就是第 $n$ 项。例如 $n=6$ 给 $a_6=8$，前六个为 $2,3,5,6,7,8$。