二次根式的共轭、唯一表示与降重根号

含同一个平方根的式子通常能整理成有理部分与根式部分。整理之后，共轭有理化、系数比较和多项式降次都能统一处理。

唯一表示与系数比较

固定正有理数 $d$ ，并假定 $\sqrt d$ 无理。若 $a,b,c,e\in\mathbb Q$ ，则

a+b\sqrt d=c+e\sqrt d\quad\Longleftrightarrow\quad a=c,\ b=e.

若 $b\ne e$ ，原等式会推出 $\sqrt d=(c-a)/(b-e)\in\mathbb Q$ ，矛盾。因此根式部分和有理部分必须分别相等。

这类比较要求系数确为有理数，且固定根式无理。若允许实数系数， $\sqrt2+0\sqrt2=0+1\sqrt2$ 就说明表示不唯一。也不能未经证明就把任意多个不同根式都当成可独立比较的“字母”，例如 $\sqrt8=2\sqrt2$ 。

称 $a-b\sqrt d$ 为 $a+b\sqrt d$ 的根式共轭。二者乘积为有理数 $a^2-b^2d$ ，因此

\frac1{a+b\sqrt d}=\frac{a-b\sqrt d}{a^2-b^2d}

适用于 $a+b\sqrt d\ne0$ 。在本篇条件下，若 $a^2-b^2d=0$ 而 $(a,b)\ne(0,0)$ ，将推出 $\sqrt d=|a/b|$ 有理，矛盾。所以非零式子的共轭乘积确实非零。

加、减、乘以及除以非零式子后，仍可整理成 $u+v\sqrt d$ ，其中 $u,v$ 有理。例如

\frac{3+2\sqrt2}{1+\sqrt2}=1+\sqrt2.

根式共轭在这里是把 $\sqrt d$ 的符号改变；复数共轭是把虚部符号改变。二者是不同操作，不应混用名称与适用对象。

设 $P$ 为有理系数多项式， $\alpha=a+b\sqrt d$ ，其中 $a,b\in\mathbb Q$ 、 $b\ne0$ 。若 $P(\alpha)=0$ ，则 $\beta=a-b\sqrt d$ 也满足 $P(\beta)=0$ 。

一个只用多项式除法的证明如下：令

M(x)=(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-2ax+a^2-b^2d.

用有理系数的首一二次式 $M$ 除 $P$ ，余式为 $ux+v$ ，其中 $u,v\in\mathbb Q$ 。代入 $\alpha$ 得 $u\alpha+v=0$ 。由于 $\alpha$ 无理，只能 $u=v=0$ ，所以 $M$ 整除 $P$ ，从而 $\beta$ 也是根。

例如有理系数多项式若以 $2+\sqrt3$ 为根，就必含因子 $x^2-4x+1$ 。若系数任取实数，此结论失效，如 $x-(2+\sqrt3)$ 就没有另一个共轭根。

设 $A\ge0,B\ge0$ 且 $A^2\ge B$ ，则

\sqrt{A+\sqrt B}= \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}2}+ \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}2}.

记右侧两被开方数为 $u,v$ ，则 $u,v\ge0$ 、 $u+v=A$ 、 $4uv=B$ ，所以右侧平方为 $A+\sqrt B$ ；右侧非负，故等式成立。同样有

\sqrt{A-\sqrt B}=\sqrt u-\sqrt v

，因为 $u\ge v$ 。 $A,B$ 为有理数且 $A^2-B$ 是有理数的平方时， $u,v$ 都有理，这才真正把嵌套根式化为两个普通根式之和或差。

例如 $\sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt3+\sqrt2$ ， $\sqrt{5-2\sqrt6}=\sqrt3-\sqrt2$ 。差的顺序由主平方根非负确定，不能任意交换。

对正整数 $n$ ，

\sqrt{\frac{2n+2\sqrt{n^2-1}}{n+1}} =\frac{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}.

将右侧平方即可验证。分母应是 $\sqrt{n+1}$ ，不能漏掉根号写成 $n+1$ 。代入 $n=1$ 时正确两边均为 $1$ ，误写式则给出 $\sqrt2/2$ ，立刻暴露问题。

检查复杂根式时，可以按“定义域与非负性—平方后的恒等式—简单端点”顺序进行。端点检查能发现笔误；一般等式仍由前两步证明。