基本不等式与均值

三变量形式与平方和推论

对非负实数 $a,b,c$，

等号当且仅当 $a=b=c$。除使用一般均值不等式外，也可直接令 $x=\sqrt[3]a,y=\sqrt[3]b,z=\sqrt[3]c$，利用

右边取零时，若 $x+y+z=0$，则三者均为零；否则三个平方均须为零。因此等号条件仍为三数相等。

对任意实数 $a,b,c$，还有

第一式作差等于 $\tfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$。第二行的左右两个不等式展开后都等价于第一式，因此等号均当且仅当 $a=b=c$。这些平方和结论允许负数，与含几何平均的正性条件不同。

算术—几何均值及四种均值的完整链

对 $n\ge2$ 个非负实数 $a_1,\ldots,a_n$，

等号当且仅当所有 $a_i$ 相等。特别地，$a+b\ge2\sqrt{ab}$，$a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}$；将 $a_i$ 换成 $a_i^n$，得到 $\sum a_i^n\ge n\prod a_i$。

不借助微积分的证明。 两项情形是 $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$。若 $n$ 项结论成立，先将 $2n$ 项分成两组应用 $n$ 项结论，再对两组的算术均值应用两项结论，即得 $2n$ 项结论。因此所有 $2^k$ 项成立。若 $m$ 项成立，给 $m-1$ 个正数添上其算术均值 $A$，则 $A^m\ge(a_1\cdots a_{m-1})A$，约去 $A$ 就得到 $m-1$ 项结论。由足够大的 $2^k$ 逐次降阶，得到任意 $n$。含零时直接成立，取等要求各数全为零或在正数证明中逐步取等，因此仍是各数相等。

两项几何解释：以长 $a+b$ 的线段为直径作半圆，从分点向半圆作垂线，高为 $\sqrt{ab}$，不超过半径 $(a+b)/2$。

对正数 $a_i$ 定义

则 $H\le G\le A\le Q$，每一处等号均等价于各数相等。$H\le G$ 来自对 $1/a_i$ 应用算术—几何均值；$G\le A$ 已证；最后一处由

证明。允许零时 $G,A,Q$ 仍有定义，$H$ 的分式定义则不能直接使用。