复合函数与反函数

复合函数让一个函数的输出成为另一个函数的输入；反函数则交换输入和输出的角色。

复合函数与反函数的定义

复合函数把内层函数的输出作为外层函数的输入。设函数 $g$ 的定义域为 $D_g$ ，函数 $f$ 的定义域为 $D_f$ ，定义

(f\circ g)(x)=f(g(x)).

运算次序是先 $g$ 后 $f$ 。一个输入能够完成这两步，当且仅当 $x\in D_g$ 且 $g(x)\in D_f$ ，故复合函数的定义域为

D_{f\circ g}=\{x\in D_g:g(x)\in D_f\}.

如果这个集合为空，就没有满足条件的实输入；若要对整个 $D_g$ 定义复合，须有 $g(D_g)\subseteq D_f$ 。一般不能调换次序：如 $f(x)=x^2,g(x)=x+1$ ，则 $f(g(x))=(x+1)^2$ ，而 $g(f(x))=x^2+1$ 。

设 $f$ 的定义域为 $A$ 、值域为 $f(A)$ 。若对每个 $y\in f(A)$ ，方程 $f(x)=y$ 都有唯一的 $x\in A$ ，就可以把这个 $x$ 看作 $y$ 的函数，称为 $f$ 的反函数，记作 $f^{-1}$ 。因此

f:A\to f(A)\text{ 有反函数}\iff f\text{ 是单射}.

若指定陪域为 $B$ ，要求反函数定义在整个 $B$ 上，则还必须 $f(A)=B$ ，即 $f:A\to B$ 是双射。反函数满足

f^{-1}(f(x))=x\quad(x\in A),\qquad f(f^{-1}(y))=y\quad(y\in f(A)).

它的定义域为原函数值域，值域为原函数定义域。记号 $f^{-1}$ 表示逆运算，不表示倒数函数 $1/f$ 。

先检查原函数在指定定义域上是否单射；再从 $y=f(x)$ 唯一反解 $x$ ，利用原定义域选择合法分支；最后交换变量名称，并注明反函数定义域。

例如 $f(x)=x^2+1$ ， $x\in[1,3]$ ，则值域为 $[2,10]$ 。从 $y=x^2+1$ 得 $x=\sqrt{y-1}$ ，负根因 $x\ge1$ 被排除。因此

f^{-1}(x)=\sqrt{x-1},\qquad x\in[2,10].

求复合表达式的定义域时，要把所有输入限制同时列出。例如已知 $f$ 的定义域为 $(a,b)$ ，要使 $f(3x-1)-f(3x+1)$ 有意义，须

a<3x-1<b,\qquad a<3x+1<b.

前者给出 $x\in((a+1)/3,(b+1)/3)$ ，后者给出 $x\in((a-1)/3,(b-1)/3)$ 。取交集后，若 $b-a>2$ ，定义域为 $((a+1)/3,(b-1)/3)$ ；若 $b-a\le2$ ，交集为空。

复合是否存在与能否在整个内函数定义域上复合须分开。例如 $g(x)=x$ 的定义域为 $\mathbb R$ ， $f(u)=\sqrt u$ 的定义域为 $[0,+\infty)$ ，因此 $f(g(x))=\sqrt x$ 只对 $x\ge0$ 有意义。

若 $f$ 有反函数， $(u,v)$ 在 $f$ 的图像上，当且仅当 $f(u)=v$ ，也就当且仅当 $f^{-1}(v)=u$ 。所以 $(v,u)$ 在反函数的图像上。点 $(u,v)$ 与 $(v,u)$ 关于直线 $y=x$ 对称，因此两幅图像关于该直线对称。

对称关系会同时交换横、纵坐标的范围，不能只把解析式中的 $x,y$ 交换而保留原定义域。

设 $g$ 在区间 $I$ 严格单调， $f$ 在一个包含 $g(I)$ 的区间 $J$ 上严格单调。则：

证明不能只背表。取 $x_1<x_2$ 。第一行 $g(x_1)<g(x_2)$ ，外函数递增保留不等号；第二行外函数递减把它反向。第三、四行先由内函数得到 $g(x_1)>g(x_2)$ ，再分别保留和反向，即得表中结果。

检查顺序是：求复合定义域；确定所讨论的区间 $I$ ；求或约束 $g(I)$ ；确认外函数在这一像集所在区间上方向一致。例如 $g(x)=x$ 递增、 $f(u)=u^2$ ，但内函数取值跨过 $0$ 时，不能只凭 $f$ 在正半轴递增便推出全域复合递增。

反函数与原严格单调函数方向一致：若 $y_1<y_2$ ，写 $x_i=f^{-1}(y_i)$ ，递增时 $x_1\ge x_2$ 会推出 $y_1\ge y_2$ ，矛盾；递减时同理得到 $x_1>x_2$ 。反函数的自变量范围是原函数的值域。

设 $g:A\to B$ 、 $f:B\to C$ 都是双射。则 $f\circ g:A\to C$ 也是双射，且

(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.

证明。 令 $h=g^{-1}\circ f^{-1}:C\to A$ 。对任意 $x\in A$ ，

h(f(g(x)))=g^{-1}(f^{-1}(f(g(x))))=g^{-1}(g(x))=x.

对任意 $y\in C$ ，

f(g(h(y)))=f(g(g^{-1}(f^{-1}(y))))=f(f^{-1}(y))=y.

这证明 $h$ 同时撤销复合函数的两个方向，确为它的反函数。从运算过程看，先做 $g$ 、再做 $f$ ，恢复输入时须先撤销 $f$ ，再撤销 $g$ 。

$y=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上没有反函数，限制到 $[0,+\infty)$ 后反函数为 $y=\sqrt x$ 。

互为反函数的图像关于 $y=x$ 对称。严格递增函数与其反函数的交点只能在该直线上：若 $f(u)=v,f(v)=u$ 且 $u<v$ ，递增性会给出 $v<u$ ，矛盾。递减时不成立，如 $f(x)=1/x$ 在正半轴上等于自己的反函数，交点有整条曲线。

设 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 为双射， $g(x)=f(x+1)$ 。若 $y=g(x)$ ，先反解 $x+1=f^{-1}(y)$ ，所以

g^{-1}(y)=f^{-1}(y)-1.

若额外给出 $g^{-1}(y)=f^{-1}(y+1)$ ，就得到 $f^{-1}(y+1)=f^{-1}(y)-1$ 。取 $y=f(t)$ 再作用 $f$ ，有 $f(t-1)=f(t)+1$ ，等价于 $f(t+1)=f(t)-1$ 。

于是若 $f(1)=4037$ ，逐次使用关系可得 $f(2018)=4037-2017=2020$ 。这是整数平移关系，不足以断言 $f$ 在整个实数域必为某个一次函数；每个长度为1的区间上的具体形状还可能有自由度。

若原函数并非定义在整个实数域，必须同时检查所写平移及反函数的定义域。把“函数相等”理解成仅在某几个点值相等，会不足以支持上述逐次递推。