放缩、齐次化与多元最值

实数大小关系与比较法的完整规则

以下字母均为实数，涉及根式、分式时另加所列条件。

1. 三歧性、对称性、传递性：$a>b,a=b,a<b$ 恰有一个成立；$a>b\iff b<a$；$a>b,b>c\Rightarrow a>c$。
2. 同加同减：$a>b\iff a+c>b+c$。若 $a>b,c>d$，则 $a+c>b+d$；若 $a>b,c<d$，则 $a-c>b-d$。两个同向不等式不能直接相减。
3. 乘除同一个数：$c>0$ 时 $a>b\iff ac>bc$；$c<0$ 时 $a>b\iff ac<bc$；除法对应规则相同，但除数不能为零。乘零后不能保留严格大小关系。
4. 同向正数相乘：$a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$。缺少符号条件，结论一般不成立。
5. 正数乘方、开方：$a>b>0,r>0\Rightarrow a^r>b^r$；$r<0$ 时反向。正整数次根在非负数上保序；奇次根在全体实数上保序。偶次幂在全体实数上不保序。
6. 取倒数：$ab>0$ 时，$a>b\iff 1/a<1/b$。异号时须单独判断，不能套用同号规则。

这些性质均可由正数的和、积为正推出。例如 $ac-bc=c(a-b)$ 的符号直接决定乘数为正、负时的方向。

作差比较：判断 $A-B$ 的符号，即判断 $A$ 与 $B$ 的大小。作商比较：仅当 $B>0$ 时，$A/B>1\iff A>B$；$B<0$ 时方向相反，$B=0$ 时不能作商。

若 $b>a>m>0$，则

前一组来自分母变化；后一组由

证明，不能忽略分母为正这一条件。

对 $c>0$，$|x|<c\iff -c<x<c$，$|x|>c\iff x<-c$ 或 $x>c$；非严格版本同理。若 $c=0$ 或 $c<0$，应直接按绝对值非负性分类。

绝对值的完整三角不等式为

加号的上界在 $ab\ge0$ 时取等、下界在 $ab\le0$ 时取等；减号时相反。上界平方后等价于 $ab\le|ab|$；下界把 $a=(a+b)-b$ 代入上界并交换 $a,b$ 即得。

齐次式、齐次化与正规化

若在允许正比例缩放的定义域中，对每个 $t>0$ 都有

则称 $F$ 为 $d$ 次齐次函数。多项式各非零单项式的总次数相同，就满足此关系；分式的次数是分子、分母次数之差。齐次性描述缩放，与变量是否对称无关。

齐次化利用约束改写不同次数的项。例如 $a,b,c>0$ 且 $a+b+c=1$，目标 $a^2+b^2+c^2\ge1/3$ 可改为

右式由平方差恒等式对所有实数成立，代回原约束便得目标。这里需证明改写在原可行集上等价；其他比例限制不能因此消失。

正规化则反向利用齐次性固定尺度。若目标 $F\ge0$ 的可行域沿正射线封闭，且 $s=x_1+\cdots+x_n>0$，令 $y_i=x_i/s$，便有 $\sum y_i=1$ 和 $F(x)=s^dF(y)$。因为 $s^d>0$，两个不等式等价。因此可以先在 $\sum y_i=1$ 上证明，再缩放回去。若和可能为零或负数，必须另选尺度或分情况，不能直接这样归一化。

对零次齐次目标 $R=(a+b)^2/(ab)$（$a,b>0$），归一化后 $a+b=1$，均值不等式给 $ab\le1/4$，故 $R\ge4$，等号当且仅当 $a=b$。

另一种消去乘积约束的等价代换是

从右向左乘起来即得；从左向右可取 $c=1,b=y,a=xy$。附加条件如 $x(1+z)>1$ 会变为 $a+c>b$，仍须保留。