圆锥曲线动弦：斜率积、定点与定向

曲线上固定一点 P，再取两点 A、B。如果 PA、PB 的方向满足某种关系，弦 AB 常经过定点或保持固定方向。关键是把两个方向看成同一个二次方程的根。

统一模型与非退化条件

考虑中心在原点的曲线 $\alpha x^2+\beta y^2=1$ ，其中 $\alpha>0,\beta\ne0$ ； $\beta>0$ 是椭圆， $\beta<0$ 是双曲线。固定曲线上点 $P(x_0,y_0)$ ，另取互异且均不等于 $P$ 的有限点 $A,B$ ，并假定 $PA,PB$ 斜率 $k_1,k_2$ 存在且互异。

弦 $AB$ 写成 $ux+vy+w=0$ ，其中 $(u,v)\ne(0,0)$ ，这样允许 $AB$ 竖直。由于一条直线与非退化二次曲线至多有两个不同交点， $P$ 不在 $AB$ 上。以下结论只讨论确实存在的这类构型；沿渐近线方向不存在第二个有限交点，切线方向也不产生不同的第二点。

把方向变成二次方程的根

从 $P$ 沿方向 $(1,k)$ 写点为 $(x_0+t,y_0+kt)$ 。利用 $P$ 在曲线上，代入曲线得

t\bigl[(\alpha+\beta k^2)t+2(\alpha x_0+\beta y_0k)\bigr]=0.

第二交点对应非零的 $t$ 。设 $L=ux_0+vy_0+w$ ，再代入弦方程并消去 $t$ ，得到

\beta(ux_0-vy_0+w)k^2-2(\beta uy_0+\alpha vx_0)k+\alpha(-ux_0+vy_0+w)=0.

其根正是 $k_1,k_2$ 。因为这两个根有限且互异，二次项系数非零，可以合法使用韦达定理。消元后的候选构型仍须满足前节实际交点条件。

斜率积固定时的定点

若 $k_1k_2=d$ 为固定实数，韦达定理给

(\alpha+\beta d)(-ux_0+vy_0)+(\alpha-\beta d)w=0.

当 $\alpha\ne\beta d$ 时，所有这样的弦经过固定点

R=\left(-\frac{\alpha+\beta d}{\alpha-\beta d}x_0,\ \frac{\alpha+\beta d}{\alpha-\beta d}y_0\right).

当 $\alpha=\beta d$ 时，不应继续除以零；此时 $ux_0-vy_0=0$ ，说明弦的方向固定为 $(x_0,-y_0)$ 。定点公式失效，保留下来的是平行关系。可实现的弦族有时只有少量成员，不能从公式反过来断言每个参数都能产生两个实交点。

垂直弦在椭圆与双曲线中的区别

当 $PA\perp PB$ 且两者斜率均存在时， $d=-1$ 。对于椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ ，得到

R=\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}x_0,-\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}y_0\right).

圆的情形 $a=b$ 给 $R=(0,0)$ ，与直径所对圆周角为直角一致。例：椭圆 $x^2/4+y^2=1$ 上固定 $P=(2,0)$ ，弦均过 $(6/5,0)$ 。

对于双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ ，若 $a\ne b$ ，则

R=\left(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}x_0,-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}y_0\right).

等轴双曲线 $a=b$ 时应改为弦平行 $(x_0,-y_0)$ ，不存在上述有限定点公式。若允许某条 $PA$ 竖直，需要另用方向向量核对，而不能写无定义的斜率乘积。

两条方向关于坐标轴对称

若 $k_1+k_2=0$ ，二次方程的一次项系数为零，故

\beta uy_0+\alpha vx_0=0.

因此弦 $AB$ 始终平行于非零向量 $(\beta y_0,\alpha x_0)$ 。这是“定向”而非一般意义下“定点”的条件。

例如在 $x^2/4+y^2=1$ 上固定 $P=(2,0)$ ，对称方向对应的两个第二交点有相同横坐标，连弦竖直，与方向向量 $(0,1/2)$ 一致。

抛物线的对应结论

对抛物线 $y^2=2px$ ，其中 $p>0$ ，固定 $P(x_0,y_0)$ 。仍令 $A,B,P$ 两两不同、 $PA,PB$ 有互异有限斜率 $k_1,k_2$ ，弦为 $ux+vy+w=0$ 。第二交点沿 $(1,k)$ 的参数为 $t=2(p-y_0k)/k^2$ ； $k=0$ 不会产生第二个有限点，因此实际构型中 $k_1k_2\ne0$ 。

代入弦方程得

(ux_0-vy_0+w)k^2+2(pv-uy_0)k+2pu=0.

若斜率积为固定的 $d\ne0$ ，弦经过

R=(x_0-2p/d,-y_0).

特别地，垂直时 $d=-1$ ，得到 $R=(x_0+2p,-y_0)$ 。若斜率和为零，则 $pv=uy_0$ ，弦方向固定为 $(y_0,-p)$ 。

例如顶点 $P=(0,0)$ 发出的斜率为 $1,-1$ 的两条弦，其第二端点为 $(2p,2p),(2p,-2p)$ ，连弦 $x=2p$ 通过上述定点，且沿 $(0,-p)$ 。

关于坐标轴对称的连线交点

设中心曲线为 $\alpha x^2+\beta y^2=1$ ，其中 $\alpha>0,\beta\ne0$ 。直线 $y=kx+d$ 与曲线交于不同的有限点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ ，假定 $kd\ne0$ ，且两个端点都不在坐标轴上。将 $A$ 分别关于横轴、纵轴反射为 $A_x,A_y$ ，则

A_xB\cap\{y=0\}=\left(-\frac{k}{\alpha d},0\right),\qquad A_yB\cap\{x=0\}=\left(0,\frac1{\beta d}\right).

这里说的是直线的轴对称；若改说射线夹角，还必须核对点的先后次序。

证明：令 $D=\alpha+\beta k^2$ 。有两个不同有限交点保证 $D\ne0$ ，韦达定理给出

x_1+x_2=-\frac{2\beta kd}{D},\quad x_1x_2=\frac{\beta d^2-1}{D},\quad y_1+y_2=\frac{2\alpha d}{D}.

而 $x_1y_2+x_2y_1=2kx_1x_2+d(x_1+x_2)=-2k/D$ 。轴上交点的非零坐标分别为此式除以 $y_1+y_2$ 、 $x_1+x_2$ ，即得。

因此椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的纵轴交点是 $(0,b^2/d)$ ；双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的纵轴交点才是 $(0,-b^2/d)$ 。原教材将椭圆的符号也写成负号，不能照用。

抛物线 $y^2=2px$ （ $p>0$ ）中，在同样非退化的条件下， $A_xB$ 与横轴交于 $(d/k,0)$ 。由 $y_1+y_2=2p/k,y_1y_2=2pd/k$ 及 $x_i=y_i^2/(2p)$ ，交点横坐标为 $y_1y_2/(2p)=d/k$ 。

非零斜率和也能给出定点

沿用本篇中心曲线 $\alpha x^2+\beta y^2=1$ 与定点 $P(x_0,y_0)$ 的非退化条件。若 $k_1+k_2=h\ne0$ ，比较方向二次式的系数，有

u(h\beta x_0-2\beta y_0)+v(-h\beta y_0-2\alpha x_0)+h\beta w=0.

因此动弦经过

R=\left(x_0-\frac{2y_0}{h},-y_0-\frac{2\alpha x_0}{h\beta}\right).

当 $h=0$ ，不能除以 $h$ ，而应使用前文的固定方向结论。

抛物线 $y^2=2px$ 中，方向方程给

u(hx_0-2y_0)+v(2p-hy_0)+hw=0.

所以 $h\ne0$ 时定点为

R=\left(x_0-\frac{2y_0}{h},\frac{2p}{h}-y_0\right).

例如 $y^2=4x,P=(0,0),h=2$ ，动弦经过 $(0,2)$ 。取发出方向斜率 $1/2,3/2$ ，第二交点分别为 $(16,8),(16/9,8/3)$ ，连线确过该点。起初选取的点 $P$ 必须位于原曲线上，所得动弦定点 $R$ 没有这一要求；本推导还要求两条方向存在不同的第二交点。