分类讨论与数形结合

好的分类由数学结构的改变决定，例如分母为零、绝对值变号、驻点越过端点、判别式变号。

分类原则

各类应覆盖全部允许情况，边界至少属于某一类；最好互不重叠。先找临界值，再按区间分类，通常比从任意数值开始试更清楚。

图像帮助发现候选结论，最终仍需用单调性、方程或不等式证明。图像分辨率不足以排除非常接近的交点。

方程 $ax=1$ 在 $a\ne0$ 时解为 $x=1/a$ ，在 $a=0$ 时无解。若是 $ax=0$ ， $a=0$ 时却有所有实数解。分类来自最高次系数是否为零，而非“参数通常不为零”的默认猜测。

$|x-1|+|x-3|=4$ 表示到两点的距离和为 $4$ 。区间 $[1,3]$ 内距离和恒为 $2$ ，故解在外侧。左侧 $4-2x=4$ 得 $x=0$ ，右侧 $2x-4=4$ 得 $x=4$ 。几何直观先确定有效分支，再用代数完成计算。

参数题中“根存在”不等于“根落在要求区间”。几何辅助图上画出的大小、垂直或对称关系，只有题设或证明支持时才能使用。