二次函数、方程与不等式

同一个二次式的图像、零点和符号应当一起研究。

二次函数的三种表示

设 $f(x)=ax^2+bx+c$ ，其中 $a,b,c\in\mathbb R$ 且 $a\ne0$ ，称 $f$ 为二次函数。 $a=0$ 时函数降为一次或常函数，不能继续使用含 $1/a$ 的公式。

记判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 。配方给出

\begin{aligned} f(x)&=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c\\ &=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} =a(x-x_0)^2-\frac\Delta{4a},\qquad x_0=-\frac b{2a}. \end{aligned}

所以图像为抛物线，对称轴为 $x=x_0$ ，顶点为 $(x_0,-\Delta/(4a))$ 。

当 $a>0$ 时，平方项非负，函数在 $(-\infty,x_0]$ 上递减，在 $[x_0,+\infty)$ 上递增；最小值为 $-\Delta/(4a)$ ，在且仅在 $x=x_0$ 取得，没有最大值。 $a<0$ 时方向反转，在顶点取得最大值，没有最小值。

这些结论也可直接从作差验证：

f(v)-f(u)=a(v-u)(u+v-2x_0).

当 $u<v\le x_0$ 时，括号 $u+v-2x_0<0$ ；当 $x_0\le u<v$ 时该括号为正，因而函数增减由 $a$ 的符号确定。

由配方， $f(x)=0$ 等价于 $(2ax+b)^2=\Delta$ 。因此 $\Delta<0$ 时无实根； $\Delta=0$ 时有一个二重实根 $x_0$ ； $\Delta>0$ 时有两个不同实根

x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}.

当存在实根 $r_1,r_2$ （重根重复列入）时，

f(x)=a(x-r_1)(x-r_2),\qquad r_1+r_2=-\frac ba,\qquad r_1r_2=\frac ca.

后两式为二次方程的韦达关系，由展开因式形式、比较一次项与常数项的系数得到。

设 $f(x)=ax^2+bx+c$ ， $a\ne0$ ， $\Delta=b^2-4ac$ 。先列出 $a>0$ 时全部符号情况。

判别式	$f(x)>0$	$f(x)=0$	$f(x)<0$
$\Delta>0$ ，实根 $r_1<r_2$	$x<r_1$ 或 $x>r_2$	$x=r_1,r_2$	$r_1<x<r_2$
$\Delta=0$ ，重根 $x_0$	$x\ne x_0$	$x=x_0$	无解
$\Delta<0$	所有实数	无解	无解

当 $a<0$ 时，表中正、负两列互换，零点不变。解 $f(x)\ge0$ 或 $f(x)\le0$ ，在相应严格不等式的解集中加入零点即可。

依据。 有两个实根时，使用 $a(x-r_1)(x-r_2)$ 判断各因子的符号；重根时使用 $a(x-x_0)^2$ ；无实根时，配方中的平方项与顶点值都与 $a$ 同号。

设区间为 $[m,n]$ ， $m<n$ ，顶点横坐标 $x_0=-b/(2a)$ 。若 $a>0$ ，

\min_{x\in[m,n]}f(x)= \begin{cases}f(m),&x_0<m,\\f(x_0),&m\le x_0\le n,\\f(n),&x_0>n,\end{cases} \qquad \max_{x\in[m,n]}f(x)=\max\{f(m),f(n)\}.

这是因为 $f(x)=a(x-x_0)^2+f(x_0)$ 随离顶点的距离增大而增大：最近点给最小值，最远端点给最大值。若 $a<0$ ，最近点给最大值，最远端点给最小值。

区间为开区间时，端点不属于定义域，其函数值只能用于判断界，不能直接认作已取得的最值。

求 $f(x)=x^2-2tx$ 在 $[0,1]$ 上的最小值。顶点为 $x=t$ ： $t<0$ 时最小值为 $f(0)=0$ ； $0\le t\le1$ 时为 $-t^2$ ； $t>1$ 时为 $f(1)=1-2t$ 。分类依据是顶点位置。

两实根都为正的条件是 $\Delta\ge0$ 、 $-b/a>0$ 、 $c/a>0$ ，允许两根相等。

证明。 若两根均为正，判别式、根和与根积显然满足这三个条件。反过来，判别式非负保证两根为实数；根积为正保证两根非零且同号；根和为正排除了两根均为负的可能，因此两根均为正。

根位于给定区间时，还需结合对称轴与端点符号判断，完整判据及证明见二次方程两根在区间内。