集合、数集与区间

集合、元素与五种表示方法

集合是一类确定对象的全体，对象叫作元素。$x\in A$ 表示 $x$ 属于集合 $A$，$x\notin A$ 表示不属于。

集合有三个基本特征：确定性——给定对象是否属于它有明确答案；互异性——同一个对象只算一个元素；无序性——改变列举顺序不改变集合。因此 $\{1,1,2\}=\{1,2\}=\{2,1\}$，不能因为列举式写了三个位置，就断言集合有三个元素。

表示方法

(1) 列举法：如 $A=\{-1,0,1\}$。重复写入某个数不会增加元素个数。

(2) 描述法：如 $A=\{x\in\mathbb Z:-1\le x\le1\}$。冒号或竖线左侧说明元素的形式及所属范围，右侧说明筛选条件。变量名称可以更换，但必须连同其受约束的出现位置一起更换。

(3) 区间法：用于实数集的连续部分，完整约定如下，有限端点默认 $a<b$。

无穷大不是实数，不能作为被包含的端点。退化时 $[a,a]=\{a\}$，而 $(a,a),[a,a),(a,a]$ 都为空集；若左端点大于右端点，按相应不等式理解为没有满足条件的实数。

(4) 文字叙述法：例如“所有非负整数的平方所组成的集合”。必须把对象范围和判断标准说清，“很大的数”没有统一标准。

(5) 图示法：数轴表示实数的区间；韦恩图用区域表示集合及其关系。图只承载已经给出的关系，不能从示意图擅自增加包含或相交条件。

常用数集、空集与基数

本手册 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$，$\mathbb N_+=\{1,2,\ldots\}$；$\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$ 分别为整数集、有理数集和实数集，满足 $\mathbb N_+\subsetneq\mathbb N\subsetneq\mathbb Z\subsetneq\mathbb Q\subsetneq\mathbb R$。

空集 $\varnothing$ 不含元素。有限集合的元素个数记为 $|A|$、$\operatorname{card}(A)$ 或 $\#A$；$|\varnothing|=0$。$\{\varnothing\}$ 有一个元素，$\{0\}$ 也有一个元素，但它们彼此不同，且都不同于空集。无限集不直接套用有限集的减法计数公式。

包含、相等与真子集的完整条件

本手册统一用 $\subseteq$ 表示允许相等的包含，用 $\subsetneq$ 表示严格包含，避免不同教材对 $\subset$ 的约定不一致。

“属于”在问一个对象是不是某集合的元素，“包含”在问一个集合的每个元素是否都属于另一集合。例如 $\varnothing\in\{\varnothing\}$ 与 $\varnothing\subseteq\{\varnothing\}$ 都成立，理由不同；$\{\varnothing\}\notin\{\varnothing\}$，因为右边唯一的元素是 $\varnothing$。

空集是任意集合的子集：要否定 $\varnothing\subseteq B$，必须找出一个属于空集而不属于 $B$ 的元素，而这样的元素不存在。包含关系满足自反性 $A\subseteq A$ 和传递性：若 $A\subseteq B\subseteq C$，则任取 $x\in A$，先得 $x\in B$ 再得 $x\in C$，所以 $A\subseteq C$。

证明相等应做双向包含，或对任意元素给出一条双向等价链。找到几个共同元素，只能证明交集非空，不能证明相等。

子集计数：全部、非空、真子集与区间约束

设有限集合 $A$ 有 $n$ 个元素。每个元素各有“取”“不取”两个独立选择，因此子集总数为 $2^n$。把空集和全集各自扣除，得到完整表：

最后一行不能套 $2^n-2$，因为 $A=\varnothing$ 时空集与全集是同一个对象。

若指定 $r$ 个元素必须选、另有 $s$ 个元素必须不选，两组互不相交，则剩余 $n-r-s$ 个元素自由决定，共 $2^{n-r-s}$ 个子集；若必选与禁选名单相交，则无解。

进一步，设有限集 $A\subseteq B$，$d=|B\setminus A|$。每个 $A\subseteq X\subseteq B$ 唯一写成 $X=A\cup T$，其中 $T\subseteq B\setminus A$，所以有 $2^d$ 个。要求两端都严格时，$d\ge1$ 要去掉 $T=\varnothing$ 和 $T=B\setminus A$，共 $2^d-2$ 个；$d=0$ 时为零。

例如 $A=\{1,2\}$、$B=\{1,2,3,4\}$，严格夹在两者之间的只有 $\{1,2,3\}$ 和 $\{1,2,4\}$。

先辨认集合中究竟放的是什么

描述法中先读大括号内的“代表元素”。例如

分别为 $\mathbb R$ 与 $[0,+\infty)$；而 $C=\{(x,y)\in\mathbb R^2:y=x^2\}$ 是平面上的点集。三个式子虽然都有 $y=x^2$，元素类型却不同。

列举有限集时要检查元素是否重复；判断数能否作元素时，要检查确定性。例如“所有很大的数”没有给出统一标准，不能据此判断一个数是否属于这个集合。常用数集满足 $\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R$，本手册的 $\mathbb N$ 包含 $0$。