方程、方程组与换元

解方程时保持解集的基本步骤

方程的解是使原方程有意义且两边相等的未知量取值；方程组的解必须同时满足全部方程。首先写出分式、根式、对数等带来的定义域限制，再进行变形。

若 $AB=0$，可分为 $A=0$ 或 $B=0$；若 $A+B=0$，通常不能把两项分别令零。只有已经证明每项非负时，和为零才迫使各项为零。

消元、对称换元与整体关系

线性方程组可通过代入消元或加减消元减少未知数。替换某一方程时，保留足够的其他方程，使变形可以逆向恢复；只取两式之差而丢弃两条原式，一般会增加解。

对关于 $x,y$ 对称的方程，令 $s=x+y,p=xy$，用

改写。求出 $s,p$ 后，$x,y$ 是 $t^2-st+p=0$ 的两根，实数解必须满足 $s^2-4p\ge0$；若要求正数，还须 $s>0,p>0$。根不同且题目区分顺序时，应保留两种有序解。

轮换方程组常先相加取得总和或平方和，再相减制造因式；是否能任意交换变量，取决于原方程组是否完全对称。齐次方程可用 $x/y$ 等比例换元，但必须先独立处理 $y=0$ 的分支。

连等分式与公共比例参数

设 $b_1,\ldots,b_n\ne0$，且

则 $a_i=kb_i$。对任意实系数 $c_1,\ldots,c_n$，只要 $\sum c_ib_i\ne0$，便有

证明。 将 $a_i=kb_i$ 代入分子，提出 $k$ 后约去非零分母即可。特别地，两项相加或相减给出

但后两式分别要求 $b+d\ne0$、$b-d\ne0$，不必同时都有定义。

设公共值为 $k$，通常能把连等分式改为若干较简单的代数方程。随后用剩余条件求 $k$，再还原各变量。若解出某变量时需要除以含 $k$ 的量，应先检查该量为零的情形；最后代回原分母限制和全部等式。

四次方程何时需要辅助配方

四次方程先检查能否因式分解或作 $u=x^2$ 等结构换元；没有这些结构时，可先平移消去三次项，再通过辅助参数把四次式写成两平方之差，降为两个二次方程。辅助参数必须满足相应三次方程和正值条件。

完整的参数方程、存在性证明、分解公式及算例集中在四次方程的辅助配方。本篇的一般等价变形规则仍须遵守：保留换元范围，求完二次方程后还原原未知数。