加权均值与待定权重

变量在约束中的地位不同时，权重可以把取等条件调整到真正的最优点。权重不是任意增加的系数，必须满足相应的归一条件。

正权重的均值不等式

设 $a_i>0$ ， $\lambda_i>0$ ， $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ ，则

\sum_{i=1}^n\lambda_i a_i\ge\prod_{i=1}^n a_i^{\lambda_i},

等号当且仅当所有 $a_i$ 相等。允许零权重时，先删去对应项，只要求剩余变量相等。

证明：对 $t>0$ ，令 $g(t)=t-1-\ln t$ 。由 $g'(t)=1-1/t$ ， $g$ 在 $1$ 处取得唯一最小值 $0$ 。令 $A=\sum\lambda_i a_i>0$ ，对 $a_i/A$ 应用 $\ln t\le t-1$ ，乘以权重后相加得

\sum_i\lambda_i\ln\frac{a_i}{A}\le\sum_i\lambda_i\left(\frac{a_i}{A}-1\right)=0.

取指数即得所证不等式；等号要求每个 $a_i/A=1$ 。

另一种常用形式为：若 $c_i>0$ 且 $\prod c_i=1$ ，则对正数 $a_i$ ，

\sum_{i=1}^n c_i a_i\ge n\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i},

等号当且仅当 $c_1a_1=\cdots=c_na_n$ 。这是对 $c_i a_i$ 使用等权均值所得。这里系数的积为 $1$ ，与上一节权重的和为 $1$ 是两种不同的条件。

取共轭指数 $p,q>1$ 、 $1/p+1/q=1$ ，对 $u^p,v^q$ 使用权重 $1/p,1/q$ ，得到杨氏不等式

uv\le\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}\qquad(u,v>0),

等号当且仅当 $u^p=v^q$ 。 $u$ 或 $v$ 为零时直接代入仍成立。

若 $x,y>0$ ， $x+2y=6$ ，求 $xy^2$ 的最大值。

将约束看成 $x+y+y=6$ ，等权均值得 $xy^2\le(6/3)^3=8$ ，在 $x=y=2$ 时取等。

也可令 $X=x,Y=2y$ ，使用权重 $1/3,2/3$ ：

2=\tfrac13X+\tfrac23(Y/2)\ge X^{1/3}(Y/2)^{2/3}.

两边立方同样得 $xy^2\le8$ 。若误对 $X,Y$ 使用等权均值并要求 $X=Y$ ，会把最优点误判为 $x=3,y=3/2$ 。

设 $a_i>0,w_i>0,\sum_iw_i=1$ 。对实数 $r\ne0$ 定义

M_r=\left(\sum_iw_i a_i^r\right)^{1/r},

另定义 $M_0=\prod_i a_i^{w_i}$ 。若 $r<s$ ，则 $M_r\le M_s$ ，等号当且仅当所有 $a_i$ 相等。零权重可删去。

当 $0<r<s$ 时，函数 $t^{s/r}$ 在正半轴严格凸。对 $a_i^r$ 使用有限加权凸性不等式得

\left(\sum_iw_i a_i^r\right)^{s/r}\le\sum_iw_i a_i^s,

取 $s$ 次方根得到结论。当 $r<s<0$ 时，对倒数 $1/a_i$ 使用刚证的正指数结论，并利用 $M_r(a)=1/M_{-r}(1/a)$ ，得到同样次序。

对 $s>0$ ，加权均值给出 $\sum_iw_i a_i^s\ge\prod_i(a_i^s)^{w_i}=M_0^s$ ，故 $M_s\ge M_0$ 。对倒数同理得到 $M_r\le M_0$ （ $r<0$ ）。这也涵盖跨越零的情况，无须把 $r=0$ 代入含 $1/r$ 的式子。

因此 $M_{-1}\le M_0\le M_1\le M_2$ 统一了调和、几何、算术和平方平均。负指数与几何平均都要求正数；若允许零，必须另行约定，不能直接沿用当前定义。