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三面角的面角、二面角与体积

拓展更新于 2026-09-29

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三个不共面的射线组成三面角。这里必须区分射线两两形成的面角与两个面形成的二面角；把四面体某一面的内角代入二面角位置会得到错误公式。

记号与非退化条件

从 OO 发出的射线 OA,OB,OCOA,OB,OC 不共面，记其单位方向为 u,v,w\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w。令

α=∠BOC,β=∠COA,γ=∠AOB.\alpha=\angle BOC,\quad\beta=\angle COA,\quad\gamma=\angle AOB.

三者均在 (0,π)(0,\pi) 内。记沿棱 OA,OB,OCOA,OB,OC 的内部二面角分别为 A0,B0,C0A_0,B_0,C_0，取值也在 (0,π)(0,\pi) 内。下标提醒它们不是底面三角形 ABCABC 的内角。

三面角余弦定理

沿用记号与非退化条件：α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 是三个面角，A0,B0,C0A_0,B_0,C_0 是与它们相对的内部二面角。

由面角求二面角

三条关系完整写为

cos⁡α=cos⁡βcos⁡γ+sin⁡βsin⁡γcos⁡A0,cos⁡β=cos⁡γcos⁡α+sin⁡γsin⁡αcos⁡B0,cos⁡γ=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βcos⁡C0.\begin{aligned} \cos\alpha&=\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma\cos A_0,\\ \cos\beta&=\cos\gamma\cos\alpha+\sin\gamma\sin\alpha\cos B_0,\\ \cos\gamma&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos C_0. \end{aligned}

例如第一条可解出

cos⁡A0=cos⁡α−cos⁡βcos⁡γsin⁡βsin⁡γ.\cos A_0=\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}.

证明。 将 v,w\mathbf v,\mathbf w 分解为沿 u\mathbf u 与垂直 u\mathbf u 的两个分量：

v=cos⁡γ u+sin⁡γ e,w=cos⁡β u+sin⁡β f.\mathbf v=\cos\gamma\,\mathbf u+\sin\gamma\,\mathbf e, \qquad \mathbf w=\cos\beta\,\mathbf u+\sin\beta\,\mathbf f.

e,f\mathbf e,\mathbf f 是分别指向两个面的单位向量，均垂直棱 OAOA，故其夹角为 A0A_0。两式作数量积，交叉项为零，得

v⋅w=cos⁡βcos⁡γ+sin⁡βsin⁡γ(e⋅f).\mathbf v\cdot\mathbf w =\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma(\mathbf e\cdot\mathbf f).

代入 v⋅w=cos⁡α\mathbf v\cdot\mathbf w=\cos\alpha、e⋅f=cos⁡A0\mathbf e\cdot\mathbf f=\cos A_0，即得第一式。分别沿 v,w\mathbf v,\mathbf w 分解，得到后两式。

由二面角求面角

还有对应的另一组余弦关系，不能把面角和二面角直接交换而沿用加号：

cos⁡A0=−cos⁡B0cos⁡C0+sin⁡B0sin⁡C0cos⁡α,cos⁡B0=−cos⁡C0cos⁡A0+sin⁡C0sin⁡A0cos⁡β,cos⁡C0=−cos⁡A0cos⁡B0+sin⁡A0sin⁡B0cos⁡γ.\begin{aligned} \cos A_0&=-\cos B_0\cos C_0+\sin B_0\sin C_0\cos\alpha,\\ \cos B_0&=-\cos C_0\cos A_0+\sin C_0\sin A_0\cos\beta,\\ \cos C_0&=-\cos A_0\cos B_0+\sin A_0\sin B_0\cos\gamma. \end{aligned}

代数证明。 记 x=cos⁡α,y=cos⁡β,z=cos⁡γx=\cos\alpha,y=\cos\beta,z=\cos\gamma，以及

D=1+2xyz−x2−y2−z2>0.D=1+2xyz-x^2-y^2-z^2>0.

由第一组公式及正弦为正，

cos⁡B0=y−zxsin⁡γsin⁡α,cos⁡C0=z−xysin⁡αsin⁡β,\cos B_0=\frac{y-zx}{\sin\gamma\sin\alpha},\quad \cos C_0=\frac{z-xy}{\sin\alpha\sin\beta}, sin⁡B0=Dsin⁡γsin⁡α,sin⁡C0=Dsin⁡αsin⁡β.\sin B_0=\frac{\sqrt D}{\sin\gamma\sin\alpha},\quad \sin C_0=\frac{\sqrt D}{\sin\alpha\sin\beta}.

于是 −cos⁡B0cos⁡C0+sin⁡B0sin⁡C0cos⁡α-\cos B_0\cos C_0+\sin B_0\sin C_0\cos\alpha 的分子为

−(y−zx)(z−xy)+xD=(1−x2)(x−yz).-(y-zx)(z-xy)+xD=(1-x^2)(x-yz).

约去分母中的 1−x2=sin⁡2α>01-x^2=\sin^2\alpha>0，剩下 (x−yz)/(sin⁡βsin⁡γ)=cos⁡A0(x-yz)/(\sin\beta\sin\gamma)=\cos A_0。轮换字母得到另外两式。所有分母非零均由三面角非退化保证。

三个面角的限制

由于 −1<cos⁡A0<1-1<\cos A_0<1，上式给

cos⁡(β+γ)<cos⁡α<cos⁡(β−γ).\cos(\beta+\gamma)<\cos\alpha<\cos(\beta-\gamma).

余弦在 [0,π][0,\pi] 严格递减，故

∣β−γ∣<α<min⁡{β+γ,2π−β−γ}.|\beta-\gamma|<\alpha<\min\{\beta+\gamma,2\pi-\beta-\gamma\}.

因此任意两个面角之和大于第三个，且三个面角之和小于 2π2\pi。端点等号对应共面退化。判断三个候选角能否组成非退化三面角时，可以直接检查三面角余弦定理算得的二面角余弦是否严格在 (−1,1)(-1,1) 内。

三面角正弦关系

令 d=∣u⋅(v×w)∣>0d=|\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)|>0。利用余弦定理证明中的正交分解，或将 u\mathbf u 作为竖直坐标轴，可得

d=sin⁡βsin⁡γsin⁡A0.d=\sin\beta\sin\gamma\sin A_0.

循环交换后，得到

sin⁡A0sin⁡α=sin⁡B0sin⁡β=sin⁡C0sin⁡γ=dsin⁡αsin⁡βsin⁡γ.\frac{\sin A_0}{\sin\alpha} =\frac{\sin B_0}{\sin\beta} =\frac{\sin C_0}{\sin\gamma} =\frac d{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}.

分母非零来自三条射线不共面。它是三面角中的关系，不是“顶角的正弦除以底面三角形内角的正弦”恒定。

由棱长和面角求体积

设 OA=a,OB=b,OC=cOA=a,OB=b,OC=c。选 u=(1,0,0)\mathbf u=(1,0,0)、v=(cos⁡γ,sin⁡γ,0)\mathbf v=(\cos\gamma,\sin\gamma,0)，则 w\mathbf w 的前两坐标为

w1=cos⁡β,w2=cos⁡α−cos⁡βcos⁡γsin⁡γ.w_1=\cos\beta,\qquad w_2=\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\gamma}.

由 ∣w∣=1|\mathbf w|=1 求 w32w_3^2，而混合积的平方为 sin⁡2γ w32\sin^2\gamma\,w_3^2，所以

d2=1+2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ−cos⁡2α−cos⁡2β−cos⁡2γ.d^2=1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma.

四面体体积为

V=abc61+2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ−cos⁡2α−cos⁡2β−cos⁡2γ.V=\frac{abc}{6}\sqrt{1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma}.

根号内须正；零表示共面，负表示给定夹角不可能。正四面体棱长为 aa 时三个面角均为 π/3\pi/3，代入得到 V=2a3/12V=\sqrt2a^3/12。

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