整系数多项式的有理根判定

整数系数把有理根的分子、分母限制在有限个候选中。这个限制适合求根、证明无理性以及把参数题转为有限计数。

有理根定理

设 $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ 的系数为整数， $a_n\ne0$ 。若最简分数 $p/q$ 是根， $q>0$ ，则 $p$ 整除 $a_0$ 、 $q$ 整除 $a_n$ ；这里分子为零时单独看 $a_0=0$ 。

将 $P(p/q)=0$ 乘以 $q^n$ ，分别移项得

a_np^n=-q(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_0q^{n-1}),

a_0q^n=-p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+\cdots+a_1q^{n-1}).

$p,q$ 互素，所以 $q$ 与 $p^n$ 互素， $p$ 与 $q^n$ 互素，可分别得出结论。首一整系数多项式的有理根必为整数，是最常用的特例。

设 $P(x)=2x^3-3x^2-8x+12$ 。若有非零有理根，其最简分母只能为 $1,2$ ，分子为 $12$ 的正负因数。定理给出的只是候选，不保证每个候选都是根。

按项分组可进一步得到

P(x)=x^2(2x-3)-4(2x-3)=(2x-3)(x-2)(x+2),

所以全部根为 $3/2,2,-2$ 。候选检验与因式分解可以配合使用；找到一个根之后，再用带余除法降次通常更省计算。

若常数项为零，应先提出 $x$ 的幂，记下零根及其重数，再筛选剩余多项式。

多项式 $x^3-x-1$ 的有理根只能是 $\pm1$ ，但代入分别为 $-1,-1$ ，均不是零。因此它的每个实根都是无理数。

同时在 $x=1,2$ 时函数值异号，连续性保证 $(1,2)$ 内确有实根。这里“没有有理根”与“没有实根”是两回事；有理根定理不能单独确定实根个数，也不能证明所有非有理根都是非实复数。

考虑 $x^5+px+q=0$ ，其中 $p,q$ 为不超过正整数 $M$ 的正整数。有理根必为整数；非负数代入为正，故有理根只能是 $-m$ ， $m\ge1$ 。代入得到

q=m^5+pm.

固定 $m$ 后，合法 $p$ 的数目为 $\max(0,\lfloor(M-m^5)/m\rfloor)$ 。因 $m\ge1$ ，这一上界不会超过 $M$ 。此外 $p\ge1$ 要求 $m^5+m\le M$ ，只剩有限个 $m$ 。

不同 $m$ 不会重复计入同一 $(p,q)$ ：函数 $x^5+px+q$ 在实轴严格递增，因为 $x^5$ 与 $px$ 都严格递增，所以实根至多一个。总数因此为

\sum_{\substack{m\ge1\\m^5+m\le M}} \left\lfloor\frac{M-m^5}{m}\right\rfloor.

例如 $M=100$ 时只有 $m=1,2$ ，数目为 $99+34=133$ 。单调性保证这是真正的参数组数，而不是把同一组参数的不同根重复相加。

系数必须先化为整数：有理系数方程可以乘以公分母，任意实系数不能套用。首项系数因参数取值而变成零时，方程次数变化，须另行处理。

“首一多项式的有理根必为整数”也要求系数为整数。例如 $x-1/2$ 首项系数为 $1$ ，却有非整数有理根。

若整系数 $P$ 满足 $P(0)$ 、 $P(1)$ 都是奇数，则 $P$ 没有整数根。

证明。 偶数 $m$ 的所有正整数次幂都是偶数，所以 $P(m)$ 与常数项 $P(0)$ 同奇偶；奇数 $m$ 的所有幂都是奇数，所以 $P(m)$ 与系数和 $P(1)$ 同奇偶。两种情况下 $P(m)$ 都为奇数，不能为零。

此法只排除整数根，不能直接排除所有有理根。例如 $2x-1$ 的 $P(0)=-1,P(1)=1$ 都是奇数，却有有理根 $1/2$ 。首一整系数情形再结合有理根定理，才可同时排除有理根。