四面体内外接球与特殊模型

外接球的存在唯一性

取一个顶点为原点，其余位置向量为 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$。球心位置 $\mathbf o$ 满足到四点等距，展开距离平方得

四面体非退化，三方向不共面，这组三元一次方程唯一可解。半径为 $|\mathbf o|$。这也给通用求球心方法，无需先猜球心所在位置。

内切球半径与面积权重

设四个面面积为 $S_A,S_B,S_C,S_D$，总体积为 $V$，总面积为 $S$。用正权重定义内部点

该表达式表示位置向量的加权平均。点 $I$ 到面 $BCD$ 的距离为 $(S_A/S)$ 乘以顶点 $A$ 到该面的高，即 $3V/S$；其他三面同理。因此内切球半径为 $r=3V/S$。

内部任一点到四面的距离若都为 $r$，将四面体分成以它为顶点的四个小锥，必有 $V=rS/3$，且四个体积比例唯一确定该点的面积权重，所以内切球唯一。球位于四个内侧半空间中，故与各面平面的切点也落在相应三角形面上。

三条棱两两垂直的四面体

取顶点 $O=(0,0,0)$、$A=(a,0,0),B=(0,b,0),C=(0,0,c)$，$a,b,c>0$。外接球心为 $(a/2,b/2,c/2)$，

三个直角面的面积之和为 $(ab+bc+ca)/2$，第四面面积为 $\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}/2$，可由三角形两边向量的数量积求得。因此

例如 $a=b=c=1$ 时 $R=\sqrt3/2$，$r=1/(3+\sqrt3)$。

四面体重心与对棱中点

四顶点位置向量为 $A,B,C,D$，令

对棱 $AB,CD$ 的中点分别为 $M=(A+B)/2,N=(C+D)/2$，故 $G=(M+N)/2$。其余两组对棱也一样，因此三条对棱中点连线相交于 $G$，且彼此平分。

面 $BCD$ 的重心为 $T=(B+C+D)/3$，于是 $G=A/4+3T/4$，故 $AG:GT=3:1$。另外三个顶点到对面重心的线段也经过 $G$。这是几何重心的位置结论；一般四面体的重心、内心和外心并不重合。

对棱相等模型的球心、高与中线

沿用 $(\pm u,\pm v,\pm w)$ 的四点模型。四顶点到原点的距离相同，重心又是原点；四面全等，面积权重相同，所以内心也为原点。因此内心、外心、重心重合。

四条高都为 $h=3V/T=4r$；顶点到对面重心的中线长都为 $4R/3$。三条对棱中点连线分别沿三个坐标轴，长度为 $2u,2v,2w$，彼此平分且两两垂直，并分别垂直于对应的一对棱。

设 $K^2=(a^2+b^2+c^2)/2$，则 $2u=\sqrt{K^2-a^2}$，循环式同理，从而

这些结论要求确实是非退化的对棱相等四面体，不能移用于任意三棱锥。

直角四面体的面积关系和六棱和最值

直角四面体 $OABC$ 中 $OA=a,OB=b,OC=c>0$ 且两两垂直。记三个直角面的面积为 $S_1,S_2,S_3$，对面面积为 $S_0$，则

这由第四面面积的坐标表达式立即得到。对面 $ABC$ 必为锐角三角形，例如 $AB^2+AC^2-BC^2=2a^2>0$，另两角同理。

若六条棱的总长固定为 $L$，由 $\sqrt{a^2+b^2}\ge(a+b)/\sqrt2$ 及循环式，

当且仅当 $a=b=c=L/[3(1+\sqrt2)]$ 取等。这里的模型是三条出发棱相等的直角四面体，不是正四面体。