不等式的性质与解法

解不等式是在定义域内确定表达式符号，不等号方向随乘除因子的符号而改变。

不等式的基本性质与等价变形

以下变量均为实数。不等式变形必须同时考虑大小关系、符号和表达式的定义域。

规则	条件与结论
作差判号	$a>b\iff a-b>0$
传递性	$a>b,b>c\Rightarrow a>c$
同加同减	$a>b\iff a+c>b+c$
乘除正数	$c>0$ 时， $a>b\iff ac>bc\iff a/c>b/c$
乘除负数	$c<0$ 时， $a>b\iff ac<bc\iff a/c<b/c$
同向相加	$a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$
同向正值相乘	$a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$
正数乘方与开方	$a>b>0,n\in\mathbb N_+\Rightarrow a^n>b^n,\sqrt[n]a>\sqrt[n]b$
同号取倒数	$ab>0$ 时， $a>b\iff 1/a<1/b$

乘以零会丢失原关系。乘以含未知数的式子时，要先确定其符号，或分类讨论。两边平方也不总等价，例如 $-3<2$ ，但 $9>4$ ；非负两边才可同平方保持方向。

若 $a-b>0$ ，则 $(a+c)-(b+c)=a-b>0$ 。乘以 $c$ 后的差为 $c(a-b)$ ，其正负由 $c$ 决定。对同向正值相乘， $ac>bc>bd$ ；若去掉正值条件，这条推理就不成立。取倒数的差为

\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab},

当 $ab>0$ 时与 $a-b$ 异号。这也说明跨越零点时不能直接套用同号取倒数规则。

更一般地，在严格递增函数的定义区间内，同取该函数保持不等号；严格递减函数则反向。例如同取对数先要求两边为正，并区分底数大于 $1$ 还是介于 $0,1$ 。

先因式分解，列出分子的零点和分母的零点，再按大小把实轴分段。每段内没有因子经过零点，符号不变，可选一点判断。奇数重因子跨过零点变号，偶数重因子不变号。

分子零点是否保留取决于严格或非严格不等号；分母零点始终排除。即使公因子约去，该点仍受原定义域限制。

设 $u,c$ 为实数，利用 $|u|\ge0$ ，可得到下表。

不等式	$c>0$	$c=0$	$c<0$
$\lvert u\rvert<c$	$-c<u<c$	无解	无解
$\lvert u\rvert\le c$	$-c\le u\le c$	$u=0$	无解
$\lvert u\rvert>c$	$u<-c$ 或 $u>c$	$u\ne0$	所有实数 $u$
$\lvert u\rvert\ge c$	$u\le-c$ 或 $u\ge c$	所有实数 $u$	所有实数 $u$

依据。 $c>0$ 时， $|u|$ 是 $u$ 到零的距离；距离小于 $c$ 对应区间内部，距离大于 $c$ 对应两侧外部。也可以将 $u\ge0$ 和 $u<0$ 两种情况代入绝对值定义后取并集。 $c\le0$ 的两列则直接由绝对值非负及 $|u|=0\iff u=0$ 得到。

例如 $|2x-1|<3$ 等价于 $-3<2x-1<3$ ，解得 $-1<x<2$ 。当 $u$ 是含未知数的表达式时，还须与该表达式的原定义域取交集。

不能对含未知数的分母不分正负地交叉相乘。平方比较大小需要两边非负； $a>b$ 不能无条件推出 $a^2>b^2$ ，例如 $-1>-2$ 。

解 $\dfrac{x-1}{x+2}\ge0$ 。分母要求 $x\ne-2$ ，分子在 $x=1$ 为零。这两点将数轴分成三个区间：

因此解集为 $(-\infty,-2)\cup[1,+\infty)$ 。分母零点永远排除，分子零点是否取到由不等号决定。也可以在 $x\ne-2$ 下乘正数 $(x+2)^2$ ，化为 $(x-1)(x+2)\ge0$ ，但仍须保留 $x\ne-2$ 。

含参数的 $ax^2+bx+c\ge0$ ，先判断 $a=0$ 是否可能；若可能，应先按一次或常数不等式处理，再讨论 $a\ne0$ 的判别式。

例如 $ax^2+1>0$ 对所有实数 $x$ 成立。当 $a=0$ 时恒为 $1$ ，成立； $a>0$ 时至少为 $1$ ，成立； $a<0$ 时取足够大的 $|x|$ 就为负，不成立。因此答案为 $a\ge0$ 。若只写“开口向上且判别式小于零”，就会漏掉 $a=0$ 。