反三角函数与三角求和

反三角函数：定义、主值与基本关系

三角函数在整个定义域上并非一一对应。例如 $\sin(\pi/6)=\sin(5\pi/6)=1/2$，仅给出正弦值无法唯一确定角。因此，定义反函数前，要把原三角函数限制在一个严格单调且覆盖其全部值域的区间上。

例如 $y=\arcsin t$ 的含义是：$\sin y=t$，并且 $y\in[-\pi/2,\pi/2]$。两个条件共同确定唯一的 $y$。这里 $\arcsin t$ 表示一个角，不表示 $1/\sin t$。

复合时为何不能直接约去函数符号

对 $t\in[-1,1]$，有 $\sin(\arcsin t)=t$；但 $\arcsin(\sin x)=x$ 只在 $x\in[-\pi/2,\pi/2]$ 时成立。在其他区间，要找与 $x$ 正弦相同且落入主值区间的角。例如

余弦、正切、余切的复合也须分别检查上表中的主值区间。

互余关系与奇偶关系

当 $|t|\le1$ 时，

证明第一式，令 $u=\arcsin t$。则 $\pi/2-u\in[0,\pi]$，且 $\cos(\pi/2-u)=\sin u=t$，根据反余弦的唯一性，$\arccos t=\pi/2-u$。后两式分别由正弦的奇性、$\cos(\pi-u)=-\cos u$ 及主值区间得到。

对任意实数 $t$，$\arctan(-t)=-\arctan t$。反余切的互余关系见反余切的主值约定。

反正切相加时的范围检查

令 $u=\arctan x,v=\arctan y$，则 $u+v\in(-\pi,\pi)$。若 $xy\ne1$，

右侧给出正切值，还不足以把 $u+v$ 确定在反正切的主值区间。完整结论是

因为 $\cos u,\cos v>0$，$\cos(u+v)=\cos u\cos v(1-xy)$，其符号决定和角位于主值区间内还是外。若 $xy=1$，则两数同号，和角为 $\pi/2$（$x>0$）或 $-\pi/2$（$x<0$）。

反余切的主值约定

把 $\cot x$ 限制在 $(0,\pi)$，它严格递减且值域为 $\mathbb R$，其反函数记作 $\operatorname{arccot}x$。因此

这是因为 $\pi/2-\arctan x\in(0,\pi)$，且其余切等于 $x$。特别地 $\operatorname{arccot}0=\pi/2$，并有 $\operatorname{arccot}(-x)=\pi-\operatorname{arccot}x$，所以反余切不是奇函数。

方程 $\cot t=a$ 的全部实解为 $t=\operatorname{arccot}a+k\pi$，$k\in\mathbb Z$。不同资料可能使用别的主值区间，迁移公式前应先统一约定。

等差角的正弦和与余弦和

设 $a,d\in\mathbb R$，$n$ 为正整数。角

组成首项为 $a$、公差为 $d$ 的等差数列。本节求的是这些角的正弦值之和与余弦值之和：

求和公式

若 $\sin(d/2)\ne0$，即 $d\notin2\pi\mathbb Z$，则

若 $d\in2\pi\mathbb Z$，各项的三角函数值相同，应直接使用 $S_n=n\sin a,C_n=n\cos a$，不能代入分母为零的公式。

证明：先裂项，再消去中间项

由积化和差，对每个 $k=0,\ldots,n-1$，

求和时，第一项产生 $\cos(a-d/2)-\cos(a+d/2)$，第二项产生 $\cos(a+d/2)-\cos(a+3d/2)$。前一项中的负余弦与后一项中的正余弦依次抵消，故只剩首尾：

第二个等号使用余弦差的和差化积公式。除以非零的 $2\sin(d/2)$，得到正弦和。

对于余弦和，使用

相加后得到

再作同样的除法即得。公式中的角 $a+(n-1)d/2$ 正是首角和末角的平均值。