导数、变化率与切线

导数所需的极限与连续性

趋近值与函数在一点的值

设函数 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。“去心”表示不要求 $x=x_0$ 处有定义。若对任意 $\varepsilon>0$，都能找到 $\delta>0$，使

就称 $A$ 为 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限，记作 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$。这里 $\delta$ 可以依赖所要求的精度 $\varepsilon$，但选定后须对这个邻域内的所有 $x$ 有效。它表达的是：只要输入足够接近 $x_0$，输出就能达到任意指定的接近程度。

把条件改为 $0<x-x_0<\delta$，得到右极限；改为 $0<x_0-x<\delta$，得到左极限。双侧极限存在当且仅当左右极限均存在且相等：双侧条件限制到一侧即可得到必要性；反过来取两侧所需 $\delta$ 的较小者即可。

当 $x\to+\infty$ 时，把输入条件改成 $x>M$；当 $x\to-\infty$ 时改成 $x<-M$，其中 $M>0$ 可随 $\varepsilon$ 选择。这里讨论的极限值 $A$ 都是有限实数。

极限唯一。 若 $A\ne B$ 都是极限，取 $\varepsilon=|A-B|/3$，在两个要求同时成立的邻域内，有

矛盾。

四则运算法则及证明

若 $u\to a,v\to b$，且 $c$ 为常数，则

这些法则对数列极限、左右极限及无穷远处的有限极限同样成立。以下证明说明各条件的作用。

和、差由误差估计 $|(u\pm v)-(a\pm b)|\le|u-a|+|v-b|$ 得到：让两项误差各小于 $\varepsilon/2$。常数倍的误差为 $|c|\,|u-a|$；$c=0$ 时直接成立。

对乘积，先限制 $|u-a|<1$，于是 $|u|\le|a|+1$，再用

使 $|v-b|<\varepsilon/[2(|a|+1)]$，并使 $|u-a|<\varepsilon/[2(|b|+1)]$，右侧便小于 $\varepsilon$。

对倒数，由 $b\ne0$，可先限制 $|v-b|<|b|/2$，保证 $|v|>|b|/2$。于是

再用乘积法则即得商法则。分母极限为零时不能套此结论；$0/0$ 只是法则不能直接判定的形式，并非一个数。

夹逼与连续性

若在足够接近目标的位置上 $u\le v\le w$，且 $u,w$ 都趋于 $A$，则 $v\to A$。给定 $\varepsilon>0$，让 $A-\varepsilon<u\le v\le w<A+\varepsilon$ 同时成立即可。这就是夹逼准则。

函数在 $x_0$ 连续，是指 $f(x_0)$ 有定义，且 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。因此“存在极限”与“连续”并不相同。例如 $(x^2-1)/(x-1)$ 在 $x\to1$ 时极限为 $2$，但原函数在 $1$ 处没有定义；若补定义 $f(1)=2$，才在该点连续。闭区间端点的连续性按区间内的单侧趋近理解。

导数以差商的有限极限定义，具体见本篇的导数定义。这里建立所需的基本法则；积分、无穷级数和一般极限计算体系不在本篇展开。

从平均变化率到导数

设函数 $f$ 在 $x_0$ 附近有定义。自变量由 $x_0$ 变为 $x_0+h$ 时，函数值的改变量为 $f(x_0+h)-f(x_0)$。当 $h\ne0$ 时，商

称为这段变化中的平均变化率。几何上，它是连接图像上两点 $(x_0,f(x_0))$、$(x_0+h,f(x_0+h))$ 的割线斜率。

若 $h$ 从正、负两侧趋近零时，这个差商趋于同一个有限数，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，该数称为导数，记作

这里的极限表示差商的趋近值，不是把 $h=0$ 直接代入分式。两侧趋近值不同，或者差商不趋于有限数，都不能据此得到有限导数。

当 $x_0$ 变化时，各点导数组成导函数 $f'$。$f'(x_0)$ 是一个数，$f'$ 是一个函数，二者需要区分。本篇先给出极限与连续性的基础，再用它们解释差商的趋近过程。

可导与连续

在 $x_0$ 连续，表示 $x$ 趋于 $x_0$ 时 $f(x)$ 趋于实际函数值 $f(x_0)$。可导必连续，因为

右侧第一因子趋于零，第二因子趋于有限导数，所以函数值增量趋于零。

反过来，连续未必可导。$f(x)=|x|$ 在零点连续，但差商为 $|h|/h$：从右侧趋近时为 $1$，从左侧趋近时为 $-1$，两者不同，因此零点不可导。

切线与瞬时变化率

在可导点 $(x_0,f(x_0))$，切线斜率为 $f'(x_0)$，方程是

若 $f(t)$ 表示位置随时间的变化，导数对应瞬时速度。切线的斜率可以为零；竖直切线没有有限斜率，不能直接使用上述有限导数公式。

基本极限与等价替换的适用范围

由基本导数的证明中采用的基础极限及导数公式，弧度制下有

后两式也分别是 $e^x$ 在 $0$ 处、$\ln x$ 在 $1$ 处的导数定义；若正在用这些极限建立导数公式，应把相应极限作为先修，不能倒过来循环证明。

若在同一趋近过程中 $g(x)\ne0$ 且 $f(x)/g(x)\to1$，称 $f,g$ 渐近等价，记为 $f\sim g$。二者都趋于零时称为等价无穷小。若 $f\sim g$、$u\sim v$，在分母均非零的邻域内，

所以乘除中的等价替换有明确依据。加减中主项可能抵消，不能直接照搬。例如 $f=x+x^2\sim x$，但

若把分子里的 $f$ 直接换为 $x$，就会错误地得到零。应先通分、因式分解或保留相消后的真实项。

计算极限时，先检查连续性代入；若出现未定形式，再尝试因式分解、通分、有理化或比较最高次项。这些操作仍须保留去心邻域中的分母非零条件。