三角形中的常用不等式及证明

证明工具：固定角和下的正弦和上界

设 $x_1,x_2,x_3\in(0,\pi)$ ，平均值为 $m=(x_1+x_2+x_3)/3$ 。则

\sin x_1+\sin x_2+\sin x_3\le3\sin m,

等号当且仅当 $x_1=x_2=x_3$ 。若三个角均在 $(0,\pi/2)$ 内，还可对余弦使用

\cos x_1+\cos x_2+\cos x_3\le3\cos m,

等号条件相同。余弦结论不能直接用于含钝角的三个内角。

用一阶导数证明

若 $f'$ 在区间内严格递减，固定 $m$ ，令 $g(x)=f(x)-f(m)-f'(m)(x-m)$ 。有 $g'(x)=f'(x)-f'(m)$ ，在 $x<m$ 时为正，在 $x>m$ 时为负。因此 $g$ 在 $m$ 处取得唯一最大值 $0$ ，即

f(x)\le f(m)+f'(m)(x-m).

分别取 $x=x_1,x_2,x_3$ 后相加。由于 $x_1+x_2+x_3=3m$ ，三个一次项的和为零，得到 $\sum f(x_j)\le3f(m)$ 。等号要求每个 $x_j=m$ 。

在 $(0,\pi)$ 内，正弦的导函数 $\cos x$ 严格递减；在 $(0,\pi/2)$ 内，余弦的导函数 $-\sin x$ 严格递减。因此上述两项结论均成立。后面的乘积上界将由和的上界配合三数均值不等式得到，无需再对乘积取对数。

正弦和、正弦积与半角积

设 $A,B,C>0$ 且 $A+B+C=\pi$ 。四条常用不等式为

\sin A+\sin B+\sin C\le\frac{3\sqrt3}{2},\qquad \sin A\sin B\sin C\le\frac{3\sqrt3}{8},

\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2\le\frac18,\qquad \cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2\le\frac{3\sqrt3}{8}.

每一式等号均当且仅当 $A=B=C=\pi/3$ 。

正弦和与正弦积的证明

三个内角的平均值为 $\pi/3$ 。应用固定角和下的正弦和上界，得到

\sin A+\sin B+\sin C\le3\sin(\pi/3)=3\sqrt3/2.

三个正弦均为正，再由三数均值不等式，

\sin A\sin B\sin C \le\left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)^3 \le\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^3=\frac{3\sqrt3}{8}.

第二个等号已经要求三个内角相等；在等边三角形中第一个等号也成立，所以取等条件充分且必要。

半角积的证明

三个半角均在 $(0,\pi/2)$ 内，平均值为 $\pi/6$ 。分别对正弦与余弦应用固定角和上界：

\sin\frac A2+\sin\frac B2+\sin\frac C2\le\frac32,\qquad \cos\frac A2+\cos\frac B2+\cos\frac C2\le\frac{3\sqrt3}{2}.

再次对三个正数使用均值不等式，两个乘积分别不超过 $(1/2)^3=1/8$ 和 $(\sqrt3/2)^3=3\sqrt3/8$ 。和的上界取等要求三个半角相等，因此仍恰在等边三角形取等。

余弦和、余弦积与四组平方和

设 $A,B,C>0$ 且 $A+B+C=\pi$ 。有

\cos A+\cos B+\cos C\le\frac32,\qquad \cos A\cos B\cos C\le\frac18,

\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C\ge\frac34,\qquad \sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\le\frac94,

\sin^2\frac A2+\sin^2\frac B2+\sin^2\frac C2\ge\frac34,\qquad \cos^2\frac A2+\cos^2\frac B2+\cos^2\frac C2\le\frac94.

六式等号分别都当且仅当三角形为等边三角形。

先证明余弦和与乘积

由内角恒等式，

\cos A+\cos B+\cos C =1+4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2 \le1+4\cdot\frac18=\frac32.

若有一个角是直角或钝角，则余弦乘积不大于零，严格小于 $1/8$ 。若三角形为锐角三角形，三个余弦都是正数，故

\cos A\cos B\cos C \le\left(\frac{\cos A+\cos B+\cos C}{3}\right)^3 \le\left(\frac12\right)^3=\frac18.

两步取等均在 $A=B=C=\pi/3$ 成立。

由恒等式推得平方和

记 $P=\cos A\cos B\cos C$ 。根据余弦平方恒等式，

\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1-2P\ge1-2\cdot\frac18=\frac34.

三个同角平方关系相加为 $\sum\sin^2A+\sum\cos^2A=3$ ，所以正弦平方和不超过 $3-3/4=9/4$ 。此处求和遍历 $A,B,C$ 。

最后把三个半角平方公式相加：

\sum\sin^2\frac A2=\frac{3-\sum\cos A}{2}\ge\frac{3-3/2}{2}=\frac34,

\sum\cos^2\frac A2=\frac{3+\sum\cos A}{2}\le\frac{3+3/2}{2}=\frac94.

这些变形都是等式转换，取等条件分别继承自余弦乘积或余弦和的上界。

正切与倍角的结论

令 $x=\tan(A/2),y=\tan(B/2),z=\tan(C/2)$ ，则 $x,y,z>0$ 、 $xy+yz+zx=1$ 。均值不等式给 $1\ge3(xyz)^{2/3}$ ，所以

\tan\frac A2\tan\frac B2\tan\frac C2\le\frac1{3\sqrt3}.

若三角形锐角，令 $u=\tan A,v=\tan B,w=\tan C>0$ ，角和公式给 $u+v+w=uvw$ 。再由 $u+v+w\ge3(uvw)^{1/3}$ ，得 $uvw\ge3\sqrt3$ 。钝角三角形有一个正切为负，不能沿用该下界。

和差化积给 $\sum\sin2A=4\sin A\sin B\sin C$ ，结合已有界得

\sum\sin2A\le\frac{3\sqrt3}{2},\qquad\sum\cos2A=2\sum\cos^2A-3\ge-\frac32.

所有结论的取等条件都追溯到三角相等，即 $A=B=C=\pi/3$ 。

常用对称式的精确值域

设 $A,B,C>0$ 且 $A+B+C=\pi$ 。下表把内角与半角的和、积、平方和放在一起比较； $\sum u$ 和 $\prod u$ 都遍历三个角。表中的闭端点恰在等边三角形达到，开端点只能在三角形趋于退化时逼近。

$u$	$\prod u$ 的范围	$\sum u$ 的范围	$\sum u^2$ 的范围
$\sin A$	$(0,3\sqrt3/8]$	$(0,3\sqrt3/2]$	$(0,9/4]$
$\sin(A/2)$	$(0,1/8]$	$(1,3/2]$	$[3/4,1)$
$\cos A$	$(-1,1/8]$	$(1,3/2]$	$[3/4,3)$
$\cos(A/2)$	$(0,3\sqrt3/8]$	$(2,3\sqrt3/2]$	$(2,9/4]$

从已证上界补齐另一端

各闭端点的证明见正弦和与半角积、余弦和与平方和。半角正弦和、余弦和的上界已在半角积证明中一并给出。这里补齐严格端点及其可逼近性。

对 $0<t<\pi/2$ ，正弦和余弦的图像严格位于端点连线之上，因此

\sin t>\frac{2t}{\pi},\qquad \cos t>1-\frac{2t}{\pi}.

这一凹性可由导函数严格递减验证，依据见凸凹函数的弦线性质。令 $t=A/2,B/2,C/2$ 后相加，得到两个半角和分别严格大于 $1$ 和 $2$ 。

内角正弦及半角正余弦均为正，故对应乘积严格大于零。由

\sum\cos A=1+4\prod\sin(A/2)

得到余弦和严格大于 $1$ 。又因为每个内角余弦的绝对值小于 $1$ ，余弦乘积严格大于 $-1$ 。四个平方和的另一端分别由

\begin{aligned} \sum\sin^2 A&=2+2\prod\cos A,&\sum\cos^2 A&=1-2\prod\cos A,\\ \sum\sin^2(A/2)&=\frac{3-\sum\cos A}{2},& \sum\cos^2(A/2)&=\frac{3+\sum\cos A}{2} \end{aligned}

得到。

最后取 $A=t,B=C=(\pi-t)/2$ ，让 $t$ 从 $\pi/3$ 趋向 $\pi$ ：此时从等边情形连续走向 $(\pi,0,0)$ ，表中每个开端点都能逼近。由连续函数的介值性质，闭端点与开端点之间的每个值都能达到。这说明表中给出的确是完整值域。

余切和的下界：允许钝角

对所有非退化三角形，都有

\cot A+\cot B+\cot C\ge\sqrt3,

等号当且仅当三角形为等边三角形。这里无须假定三个余切为正。

设三边为 $a,b,c$ ，面积为 $\Delta$ 。由余弦定理与 $2\Delta=bc\sin A$ ，

\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}.

三式相加，得余切和等于 $Q/(4\Delta)$ ，其中 $Q=a^2+b^2+c^2$ 。海伦公式展开为

16\Delta^2=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4),

因此

Q^2-48\Delta^2 =2\bigl[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\bigr]\ge0.

由 $Q,\Delta>0$ ，得 $Q/(4\Delta)\ge\sqrt3$ 。等号恰要求 $a=b=c$ 。锐角三角形的正切和下界见正切与倍角；它需要额外的锐角条件。

三角形角度组成的平方和

设 $A,B,C\in(0,\pi)$ 且 $A+B+C=\pi$ ， $x,y,z$ 为任意实数。则

x^2+y^2+z^2\ge2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B.

证明只需验证恒等式

\begin{aligned} &x^2+y^2+z^2-2xy\cos C-2yz\cos A-2zx\cos B\\ &=(x-y\cos C-z\cos B)^2+(y\sin C-z\sin B)^2. \end{aligned}

展开右侧，并用 $\cos(B+C)=-\cos A$ 即得。等号当且仅当存在实数 $t$ 使

(x,y,z)=t(\sin A,\sin B,\sin C).

事实上第二个平方为零给 $y/\sin B=z/\sin C=t$ ，第一个再给 $x=t\sin(B+C)=t\sin A$ 。若变量限定为正，则 $t>0$ 。注意等号比例是正弦，而不是余弦；钝角三角形仍适用。

锐角三角形的正切和与余切和

若 $A,B,C$ 为锐角三角形内角，令 $x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C$ ，则三者为正。因为 $A+B=\pi-C>\pi/2$ ，有 $A>\pi/2-B$ 。正切在 $(0,\pi/2)$ 上严格递增，所以 $x>1/y$ 。循环交换角，同理得到 $y>1/z,z>1/x$ 。

因此 $x>1/y,y>1/z,z>1/x$ ，相加得

\tan A+\tan B+\tan C>\cot A+\cot B+\cot C.

严格性来自三角形各角为正及均小于直角。

单角的惠更斯不等式

在弧度制下，若 $0<x<\pi/2$ ，则

\tan x+2\sin x>3x.

令 $F(x)=\tan x+2\sin x-3x$ ，写 $c=\cos x\in(0,1)$ ，得到

F'(x)=\frac1{c^2}+2c-3=\frac{(1-c)^2(2c+1)}{c^2}>0.

由 $F(0)=0$ 即得。再由 $x>\sin x$ ，可推出 $\tan x+\sin x>2x$ 。两式只在所列区间使用；正切跨越无定义点后不能沿用同一结论。

正弦的代数下界与上界

对 $x\ge0$ ，有

1-\frac{x^2}{2}\le\cos x\le1,\qquad x-\frac{x^3}{6}\le\sin x\le x.

先由 $\sin x\le x$ ，得 $G(x)=\cos x-1+x^2/2$ 满足 $G'(x)=x-\sin x\ge0$ ，且 $G(0)=0$ 。继而 $H(x)=\sin x-x+x^3/6$ 满足 $H'(x)=G(x)\ge0$ 、 $H(0)=0$ 。这里 $\sin x\le x$ 可由 $x-\sin x$ 的导数 $1-\cos x\ge0$ 得到。证明只用一阶导数，未使用泰勒展开。

另有对所有 $x\ge0$ 成立的界

\frac{3\sin x}{2+\cos x}\le x.

因为 $2+\cos x>0$ ，且

\left(x-\frac{3\sin x}{2+\cos x}\right)'=\frac{(1-\cos x)^2}{(2+\cos x)^2}\ge0.

初值为零，故成立；当 $x>0$ 时为严格不等式。