命题、充分条件与必要条件

对实数 $x$，$p:x>2$，$q:x^2>4$。$p$ 的解集 $(2,+\infty)$ 真包含于 $q$ 的解集 $(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$，所以 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。取 $x=-3$ 即可否定逆向推导。

设 $p:|x-1|<2$，$q:x<a$，论域为 $\mathbb R$。$p$ 的解集为 $(-1,3)$，$q$ 的解集为 $(-\infty,a)$。

要使 $p$ 是 $q$ 的充分条件，必须且只需 $(-1,3)\subseteq(-\infty,a)$，故 $a\ge3$。$a=3$ 允许，因为 $p$ 本身不取 $x=3$。

若问必要条件，则需反向包含。但 $q$ 总包含任意小的负数，而 $p$ 不含 $x\le-1$，所以不存在这样的 $a$。同一参数问题，不能把“充分”与“必要”的包含方向混用。

关系链。 假设 $p$ 是 $r$ 的充分不必要条件，$q$ 是 $r$ 的充分条件，$\neg s$ 是 $\neg r$ 的充分条件，且 $q$ 是 $s$ 的必要条件。

把各条件改写成满足条件的集合包含关系：$P\subsetneq R$、$Q\subseteq R$、$R\subseteq S$（逆否），以及 $S\subseteq Q$。所以

而 $P$ 真包含于三者。于是 $s,q$ 充要，$p$ 对 $q$ 充分不必要；取补反转严格包含，$\neg p$ 对 $\neg s$ 必要不充分。不能只顺着某一个箭头就断言“不是必要条件”，严格性需要反例或真包含依据。

两个充分必要方向要分别检查。 设 $P$ 表示两个二次不等式的解集相同，$Q$ 表示其三个对应系数之比都为 $-1$（因此分母系数均非零）。$Q$ 不推出 $P$：取两个多项式为 $x^2+x+1$ 与其相反数，正值解集分别为 $\mathbb R$ 与空集。$P$ 也不推出 $Q$：取两个多项式都为 $x^2+x+1$，解集相同但系数比为 $1$。所以 $Q$ 对 $P$ 既不充分也不必要。

每个反例都要满足题目定义域，不能取分母系数为零再用“比值不成立”充当反例。