分点、重心与向量几何

位置向量的加权平均可以表示分点和重心，适合把几何位置转成代数关系。

内分点、中点与重心

以下所有位置向量取同一个原点 $O$ 。设 $A\ne B$ ，点 $P$ 在线段内部且 $AP:PB=m:n$ ，其中 $m,n>0$ 。由于 $\overrightarrow{AP}=\frac m{m+n}\overrightarrow{AB}$ ，将两边分别写成位置向量之差，得到

\mathbf p=\frac{n\mathbf a+m\mathbf b}{m+n}.

若 $A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)$ ，相应坐标为

P=\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right).

中点是 $m=n$ 的情形，坐标为 $((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)$ 。外分和有向比见下一节。

三角形重心

设 $A,B,C$ 不共线，定义点 $G$ 的位置向量为

\mathbf g=\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c}{3}.

若 $D$ 为 $BC$ 中点，则 $\mathbf d=(\mathbf b+\mathbf c)/2$ ，因此

\overrightarrow{AG}=\mathbf g-\mathbf a=\frac23(\mathbf d-\mathbf a)=\frac23\overrightarrow{AD}.

所以 $G$ 在中线 $AD$ 上且 $AG:GD=2:1$ 。对另外两顶点重复这一计算，证明三条中线交于同一个点 $G$ ，这就是重心。并有

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\mathbf0.

由于到同一直线的高相同， $[ABG]:[BGD]=AG:GD=2:1$ ；结合中线平分三角形面积，可得 $[ABG]=[BCG]=[CAG]=[ABC]/3$ ，三条中线分成的六个小三角形面积相等。这里 $[XYZ]$ 表示三角形面积。

有向比与外分点

设不同点 $A,B$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{PB}$ 。展开位置向量得

\mathbf p=\frac{\mathbf a+k\mathbf b}{1+k},\qquad k\ne-1.

$k>0$ 对应内部点； $k<0$ 且 $k\ne-1$ 对应外部点； $k=0$ 对应端点 $A$ 。端点 $B$ 不能用有限 $k$ 表示。若 $k=-1$ ，原式将迫使 $A=B$ ，与条件矛盾。

例如数轴上 $A=0,B=2,k=-2$ ，得 $P=4$ ，并有 $AP=4,PB=-2$ （有向），比值为 $-2$ 。外分点若改用无向长度，符号必须重新翻译，不能直接把负比当作负长度。

系数和为一为什么表示直线上的点

设 $A\ne B$ ， $P$ 在直线 $AB$ 上，则存在 $t\in\mathbb R$ 使 $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$ ，故相对任意原点 $O$ ，

\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}.

反向从这一等式也能还原 $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$ ，所以条件充要。 $0\le t\le1$ 对应线段， $t<0$ 或 $t>1$ 对应延长线。

若 $O,A,B$ 不共线， $\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$ 中的系数唯一，因此 $P\in AB$ 等价于 $\lambda+\mu=1$ 。固定 $\lambda+\mu=k$ 得到与 $AB$ 平行或重合的直线，包括 $k=0$ 时经过 $O$ 的那条平行线。

面积与边界

同一高下三角形面积与底边成正比，故内分点的比例也可从面积比得到。一般仿射组合 $\mathbf p=\sum\lambda_i\mathbf a_i$ 中，系数和为 $1$ 保证表达不依赖原点；若还要求各系数非负，点落在顶点的凸包内。不要把任意线性组合都解释为内部点。

例：中点恒等式

设 $M$ 是 $AB$ 中点，对任意点 $P$ ，写 $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA}$ 、 $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{MA}$ 。平方后相加，交叉项消去，得到

PA^2+PB^2=2PM^2+\frac12AB^2.

所以在固定 $AB$ 时，平方距离和在 $P=M$ 最小；若 $P$ 另受轨迹限制，则转为求 $PM$ 的最小值。

例：比例必须与端点权重对应

设 $A=(1,2),B=(7,5)$ ， $AP:PB=2:1$ 且 $P$ 在线段内部。此时 $t=2/3$ ，所以

P=\frac13A+\frac23B=(5,4).

离 $B$ 更近的点，对 $B$ 的权重更大。检验时可看 $P-A=(4,2)$ 与 $B-P=(2,1)$ ，前者恰为后者的两倍。

若只给出距离比 $AP:PB=2:1$ 却不限定 $P$ 在线段上，则在直线 $AB$ 上还可能有外分点，在平面内还可能有不共线的点（这些点构成阿波罗尼斯圆）。使用内分公式前必须先读取位置条件。

关联阅读

进一步阅读：面积权重、重心与三角形中心的向量刻画。

先修：向量运算与基底 · 数量积、夹角与投影。

同主题：数量积、夹角与投影。