分段、绝对值与取整函数

绝对值与分段

$|x-a|$ 是数轴上 $x$ 到 $a$ 的距离。处理多个绝对值时，先排列零点，再分别去绝对值；最后检查分界点。

例如 $|x-1|+|x-3|$ 在 $x\le1$ 时为 $4-2x$，在 $1\le x\le3$ 时为 $2$，在 $x\ge3$ 时为 $2x-4$，所以最小值 $2$ 在整段 $[1,3]$ 上取得。

拓展：加权绝对值和

对 $w_i>0$，函数 $F(x)=\sum_iw_i|x-a_i|$ 在非分界点处的斜率是左侧权重和减去右侧权重和。越过 $a_i$ 时斜率增加 $2w_i$，因此最小值在左右累计权重均不超过总权重一半的点上取得。若某段斜率为零，整段都是最小点。

这里的理由是：全部权重为正，斜率随 $x$ 增大只会上升。一个点的左侧斜率非正、右侧斜率非负时，函数向该点移动不会增大，离开该点也不会减小，故它给出全局最小值。这两个斜率条件恰好等价于严格左侧、严格右侧的权重各不超过总权重的一半。完整推导、重复数据与区间约束见加权中位数。

取整函数与小数部分

对任意实数 $x$，不大于 $x$ 的最大整数叫作 $x$ 的整数部分，记为 $\lfloor x\rfloor$（有些讲义记为 $[x]$）。其精确定义是

函数 $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ 的定义域为 $\mathbb R$，值域为 $\mathbb Z$。它在每段 $[m,m+1)$ 恒等于 $m$，在整个实轴上单调不减，但不严格递增：若 $x\le y$，整数 $\lfloor x\rfloor\le x\le y$，故 $\lfloor x\rfloor\le\lfloor y\rfloor$。

定义小数部分为 $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$。于是

小数部分函数的定义域是 $\mathbb R$，值域是 $[0,1)$；在每段 $[m,m+1)$ 上等于 $x-m$，严格递增，但跨过整数时回到 $0$，故在整个实轴上不单调。由 $\lfloor x+1\rfloor=\lfloor x\rfloor+1$，有 $\{x+1\}=\{x\}$，所以 $1$ 是周期；若 $T>0$ 是周期，代入 $x=0$ 得 $\{T\}=0$，故 $T$ 必为正整数，最小正周期为 $1$。

例如 $\lfloor-1.2\rfloor=-2$、$\{-1.2\}=0.8$。负数仍按上述不等式确定整数部分，不能按“截去小数”处理。