有限多项式的系数计数

把选取数量记录成指数，乘法展开就能自动把各个选择的数量相加。本篇只使用有限多项式，不涉及无穷幂级数。

对应原则

若第 $i$ 类对象可选数量集合为有限集 $S_i$ ，用 $P_i(x)=\sum_{k\in S_i}x^k$ 记录选择，则 $\prod_iP_i(x)$ 中 $x^m$ 的系数等于总数量为 $m$ 的选择方案数。因为每次展开从每个因子中选一项，指数相加，系数统计得到相同总量的不同选择。

若某数量有多种内部选择，应把选择数写成系数。例如 $n$ 个不同对象任取若干个，对应 $(1+x)^n$ 。

三个不同盒子各放 $0,1,2$ 个相同球，共放 $3$ 个。所求为 $(1+x+x^2)^3$ 中 $x^3$ 的系数。数量分配可能是 $(1,1,1)$ 一种，或 $(0,1,2)$ 的六种排列，故系数为 $7$ 。

这里“方案”记录每个盒子的数量，不记录相同球的个体身份。把不同球当成同类球会换掉计数对象。有限多项式适合上界有限的问题，更一般的母函数理论留到后续版本。