赫尔德不等式与闵可夫斯基不等式

柯西对应平方与平方根。把指数改成互为共轭的两个数，就得到赫尔德不等式；再用它可以证明有限数列的三角不等式。这里不引入抽象空间。

赫尔德的条件与结论

设 $p,q>1$ ， $1/p+1/q=1$ ， $a_i,b_i\ge0$ （ $1\le i\le n$ ），则

\sum_{i=1}^n a_ib_i\le\left(\sum a_i^p\right)^{1/p}\left(\sum b_i^q\right)^{1/q}.

若两组数都不是全零，等号当且仅当存在 $c>0$ ，使 $a_i^p=cb_i^q$ 对每个 $i$ 成立。任一组全零时也取等，需单列，不能强行写成正比例。对于实数列，对绝对值使用此式即可估计 $|\sum a_ib_i|$ ，但还须检查求和时的符号损失。

记 $A=(\sum a_i^p)^{1/p}$ 、 $B=(\sum b_i^q)^{1/q}$ 。若 $AB=0$ ，结论直接成立；否则令 $u_i=a_i/A,v_i=b_i/B$ 。杨氏不等式给出

u_iv_i\le u_i^p/p+v_i^q/q.

求和后右边为 $1/p+1/q=1$ ，乘以 $AB$ 即得结论。每项取等要求 $u_i^p=v_i^q$ ，恰是上一节的比例条件。

设 $x_{ji}\ge0$ ， $1\le j\le m,1\le i\le n$ ；权重 $\alpha_j>0$ 且 $\sum_j\alpha_j=1$ ，则

\sum_{i=1}^n\prod_{j=1}^m x_{ji}^{\alpha_j}\le\prod_{j=1}^m\left(\sum_{i=1}^n x_{ji}\right)^{\alpha_j}.

若某行全零，两边均为零。否则令 $S_j=\sum_i x_{ji}>0$ ，对每列应用加权均值： $\prod_j(x_{ji}/S_j)^{\alpha_j}\le\sum_j\alpha_jx_{ji}/S_j$ 。对 $i$ 求和，右边为 $1$ ，还原即可。

所有行和正时，等号当且仅当每列的归一化数 $x_{ji}/S_j$ 对 $j$ 都相等。权重全为 $1/m$ 时是常见的多重赫尔德形式。

设 $p>1$ ， $a_i,b_i\ge0$ ，则

\left(\sum(a_i+b_i)^p\right)^{1/p}\le\left(\sum a_i^p\right)^{1/p}+\left(\sum b_i^p\right)^{1/p}.

记左边为 $C$ ，右边两项为 $A,B$ 。 $C=0$ 时显然。否则，拆开

C^p=\sum a_i(a_i+b_i)^{p-1}+\sum b_i(a_i+b_i)^{p-1}.

分别用赫尔德及 $q=p/(p-1)$ ，右边至多为 $(A+B)C^{p-1}$ ，约去正数得证。两组非零时取等当且仅当存在 $c>0$ 使 $a_i=cb_i$ 对全部下标成立；任一组全零也取等。

对任意实数列，同样有

\left(\sum|a_i+b_i|^p\right)^{1/p} \le\left(\sum|a_i|^p\right)^{1/p}+\left(\sum|b_i|^p\right)^{1/p}.

先逐项使用 $|a_i+b_i|\le|a_i|+|b_i|$ ，再对两组非负数 $|a_i|,|b_i|$ 使用刚证的结论即可。 $p>1$ 时，任一数列全零会取等；两组均非零时，取等要求绝对值成正比例并且每一对非零项同号，合起来仍是存在同一个 $c>0$ 使 $a_i=cb_i$ 。

$p=1$ 时退化为逐项三角不等式，等号只要求每个 $a_ib_i\ge0$ ，不要求各项比例相同。

若 $x,y,z>0$ ，多重赫尔德给出

(x+y+z)^3\le\left(\frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}\right)(a+b+c)^2\qquad(a,b,c>0).

可将三组分别取为 $(x^3/a^2,y^3/b^2,z^3/c^2)$ 、 $(a,b,c)$ 、 $(a,b,c)$ 后使用等权形式。等号条件为 $x/a=y/b=z/c$ 。

例如 $a=1,b=2,c=3,x+y+z=6$ ，分式和至少为 $6$ ，在 $(x,y,z)=(1,2,3)$ 取等。