圆锥曲线切线的代数作图原理

一些切线作图的共同原因是斜率的平均关系或切线的轴截距。明确这些关系后，可以判断作图何时有效、何时因平行而失效。

连接两顶点的斜率平均

设曲线 $x^2/a^2+\varepsilon y^2/b^2=1$ ，其中 $a,b>0,\varepsilon\in\{1,-1\}$ 。取曲线上 $P(x_0,y_0)$ ， $y_0\ne0$ ，左右顶点为 $U(-a,0),V(a,0)$ 。两连线的斜率平均值为

\frac12\left(\frac{y_0}{x_0+a}+\frac{y_0}{x_0-a}\right) =\frac{x_0y_0}{x_0^2-a^2} =-\frac{\varepsilon b^2x_0}{a^2y_0},

恰为 $P$ 处切线斜率。由曲线方程及 $y_0\ne0$ ，可知 $x_0\ne\pm a$ ，以上分母合法。

在上一节条件下，任取竖直线 $x=t$ ，其中 $t\ne x_0$ ，分别与 $PU,PV$ 交于 $M,N$ 。取 $MN$ 中点 $R$ ，则 $PR$ 是切线。

若两条连线的斜率为 $m_1,m_2$ ，则 $R$ 的纵坐标为 $y_0+(t-x_0)(m_1+m_2)/2$ ，所以 $PR$ 的斜率就是切线斜率。当 $t=a$ ，其中一个交点恰为顶点 $V$ ，得到常见的“取顶点与另一交点的中点”作法。

若 $t=x_0$ ， $M=N=R=P$ ，无法确定直线；若 $y_0=0$ ，应直接用顶点处的竖直切线。

继续采用上述曲线，设 $x_0y_0\ne0$ ，将 $P$ 关于横轴反射为 $P'$ 。直线 $UP$ 与 $VP'$ 相交于 $T$ 。联立两直线，可得 $T$ 的横坐标为 $a^2/x_0$ 。将 $T$ 垂直投影到横轴得 $R(a^2/x_0,0)$ ，则 $PR$ 为切线，因为切线方程

\frac{x_0x}{a^2}+\varepsilon\frac{y_0y}{b^2}=1

在横轴的交点正是 $R$ 。

若 $x_0=0$ ，该构造中的两条直线平行，但此时椭圆在 $P$ 处的切线直接为水平线；双曲线上不存在这样的点。作图交点不存在不表示原曲线没有切线。

设 $y^2=2px,p>0$ ，取非顶点 $P(x_0,y_0)$ 。由 $y_0^2=2px_0$ ，顶点 $O$ 与 $P$ 连线的斜率为 $y_0/x_0=2p/y_0$ ，切线斜率为 $p/y_0$ ，恰为前者的一半。

因此任取 $t\ne x_0$ ，让竖直线 $x=t$ 分别与 $OP$ 、过 $P$ 的水平线相交，连接两交点的中点与 $P$ 即得切线。证明与上一节的斜率平均相同。顶点处切线为 $x=0$ ，单独处理。

在 $y^2=2px$ （ $p>0$ ）上取 $A=(pt^2/2,pt),B=(ps^2/2,ps)$ ， $t\ne s$ 。两点处切线分别为 $ty=x+pt^2/2$ 、 $sy=x+ps^2/2$ ，交于

M=\left(\frac{pts}{2},\frac{p(t+s)}2\right).

弦中点为 $N=(p(t^2+s^2)/4,p(t+s)/2)$ ，所以 $MN$ 平行对称轴。由水平底 $MN$ 与相应高度，或行列式计算，得

[MAB]=\frac{p^2|t-s|^3}{8}.

若 $AB$ 经过焦点 $F=(p/2,0)$ ，将 $F$ 代入弦方程

(t+s)y=2x+pts

得 $ts=-1$ 。于是 $M$ 在准线 $x=-p/2$ 上，两切线互相垂直；同时

\overrightarrow{MF}\cdot\overrightarrow{AB}=0.

由于 $(t-s)^2=(t+s)^2+4\ge4$ ，得到 $[MAB]\ge p^2$ ，等号在 $s=-t=\pm1$ ，即焦弦垂直对称轴时成立。

这些垂直结论需要焦弦条件；一般弦仅保留 $MN$ 平行轴及面积公式。例如 $t=0,s=1$ 时，一条切线竖直，但上面的切线方程及交点公式仍有效。