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空间图形的表示与坐标建模

基础更新于 2026-09-29

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纸面图像压缩了空间信息。直观图、投影视图与坐标表示各保留不同的信息。

空间基本元素、多面体与欧拉关系

空间点不考虑大小，直线不考虑粗细且向两端无限延伸，平面不考虑厚薄且无限延展。图上画出的线段、平行四边形只是直线、平面的表示，不是它们的边界。几何体的表面却有确定范围，可以是平面的一部分或曲面；多面体相邻面的交线段称棱，棱相接的点称顶点。球体没有棱与顶点，不能把多面体的术语机械套给所有曲面体。

多面体由有限个平面多边形围成。若每个面所在平面都使整个多面体位于同一侧，则是凸多面体；否则可能是凹多面体。几何体与平面的交集叫截面。多面体中，同一面内连接不相邻顶点的是面对角线，不在同一面内的相应连线为体对角线。

设顶点、棱、面数为 $V,E,F$ 。凸多面体及表面同球面的无洞简单多面体满足

V-E+F=2.

一个初等证明是去掉一个面并把其余面展开成连通平面图：反复删除环上的一条边，会同时减少一条边和一个有界面，使 $V-E+F$ 保持不变；最后得到树，树有 $E=V-1$ ，连同外部面 $F=1$ ，得到值二。这里的 $F$ 包含平面图外部面，正对应最初去掉的那一面。

“一个洞时为零”指表面具有一个贯通把手、没有其他异常粘合的多面体： $V-E+F=0$ 。不能把内部另有封闭空腔也简单当作同一种“洞”。本版保留此来源结论及适用对象，不展开拓扑理论。

选择表示方式

不同表示服务于不同问题：观察组成与相对位置时使用直观图；恢复三个方向的尺寸时配合阅读三视图；计算距离、夹角和动点参数时建立坐标系；计算指定表面路径时考虑展开图。

这些表示各自会省略信息。一个投影常不能确定空间点的深度；直观图会改变长度和角度；展开图中的最短直线也未必能折回为合法路径。后续各节分别给出画法、计算依据与使用条件。

空间问题平面化、投影、直观图与三视图

处理空间问题可选取相关截面、表面展开图或投影，将所求量放到一个适当平面内研究。平面化后仍须说明所取线段是否真为高度、垂线或所求角的两边，不能仅凭直观图形状判断。

投影：投影线互相平行为平行投影；其中垂直投影面的为正投影，否则为斜投影。投影线从同一投影中心射出为中心投影。平行投影在不退化时保留共线性、平行性及同一直线上线段比；一般不保留角度、长度。中心投影通常连平行关系也不保留。

斜二测直观图五步：

原空间建立互相垂直的 $Ox,Oy,Oz$ ， $xy$ 平面通常表示水平面。
纸上画 $O'x',O'y',O'z'$ ，令 $x'$ 与 $y'$ 夹角为 $45^\circ$ 或 $135^\circ$ ， $x'$ 与 $z'$ 夹角为 $90^\circ$ 。
原图平行各轴的线段分别画成平行对应纸面轴的线段，保持端点的相对位置。
平行 $x,z$ 轴的长度不变，平行 $y$ 轴的长度减半。任意斜线应由端点坐标确定，不能把所有长度一律减半。
连接相应点，画可见实线、遮挡虚线，擦去无须保留的辅助轴。

原资料还提及正等测画法：三轴纸面投影方向两两成 $120^\circ$ ，三个轴向采用相同的长度缩放。它与斜二测的缩放规则不同。

三视图由三个互相垂直投影面的正投影组成：正前方投影为主视图（正视图），水平面投影为俯视图，侧立面投影为侧视图（本来源采用左视图）。通常正视图与俯视图长对正，正视图与侧视图高平齐，俯视图与侧视图宽相等。阅读时须根据观看方向确定左右，不能把侧视图直接当空间截面。三视图与直观图都是空间图形的平面表示，但各自的投影和长度规则必须分别使用。

斜二测图保留什么、改变什么

把平面内的坐标方向画成 $45^\circ$ ，并将第二坐标方向的长度减半时，点 $(x,y)$ 在图上的坐标可写为

\left(x+\frac{\sqrt2}4y,\frac{\sqrt2}4y\right).

因此平行关系、共线关系和同一直线上的长度比保持，角度与一般长度不保持；面积统一乘 $\sqrt2/4$ 。例如边长 $2,4$ 的矩形原面积为 $8$ ，直观图面积为 $2\sqrt2$ 。图上看似垂直或相等的线段，不可直接作为空间证明依据。

空间坐标

选原点及三个两两垂直的单位方向后，点记为 $(x,y,z)$ 。两点距离为

\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.

向量数量积为三对坐标乘积之和。平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 中 $(A,B,C)\ne(0,0,0)$ 是法向量。

例：选择有利坐标

长方体可把一个顶点取为原点，将三条相邻棱作为坐标轴。边长为 $a,b,c$ 时，对角顶点为 $(a,b,c)$ ，体对角线长为 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ，上下底面的距离直接为 $c$ 。

斜棱柱建系：利用同一个平移向量

底面三角形顶点为 $A=(0,0,0),B=(2,0,0),C=(0,3,0)$ ，侧棱向量为 $v=(1,1,4)$ 。棱柱上底由下底整体平移得到，因此 $A_1=(1,1,4),B_1=(3,1,4),C_1=(1,4,4)$ 。

其高为 $4$ ，侧棱长却为 $\sqrt{18}$ ；体积为 $\tfrac12\cdot2\cdot3\cdot4=12$ 。若需要 $B_1C_1$ 的中点，则直接取 $(2,5/2,4)$ 。这样的建系不要求侧棱垂直于底面，却要求坐标轴本身正交；不能沿三条不互相垂直的棱建系后仍使用直角坐标的距离公式。

易错点

三条任意棱不一定两两垂直，不能不加证明就作为直角坐标轴。若选用斜基底，普通坐标内积公式不再直接适用。本手册空间计算统一使用直角坐标系。

正方体截面的边数与平行边

只讨论平面切出有正面积的截面，其边界中共线相邻线段合并为一条边。正方体有六个面，每个面至多贡献一条截边，所以截面最多六边。

任意四条及以上截边中，至少两条分别位于一对平行的相对面上，因此这两条截边平行。四边形截面因而至少有一组对边平行；正五边形没有平行边，所以不可能成为正方体截面。

单位正方体 $0\le x,y,z\le1$ 被平面 $x+y+z=3/2$ 截得的六个顶点是 $(1,1/2,0)$ 的全部坐标排列。它们共面、到 $(1/2,1/2,1/2)$ 等距，相邻点距均为 $1/\sqrt2$ ，故构成正六边形。

三角形截面为什么是锐角三角形

若截面是三角形，它的三条边不可能来自一对相对面，否则会出现平行边。因此三条边所在的三个面分别来自正方体三对相对面，它们交于同一个顶点。以该顶点为原点、三条棱为坐标轴，截面顶点可写成

A=(a,0,0),\quad B=(0,b,0),\quad C=(0,0,c),\qquad a,b,c>0.

在 $A$ 处，两边向量点积为 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=a^2>0$ ，所以该角锐；另两角同理。这也说明一个截面看起来很扁，并不意味着它能出现钝角。若某截点退到原点导致面积为零，则不属于本节的三角形截面。

截面先求棱上交点，再沿面连接

在单位正方体 $0\le x,y,z\le1$ 中，平面 $x+y+z=3/2$ 与六条棱相交，交点为 $(1,1/2,0)$ 、 $(1/2,1,0)$ 、 $(0,1,1/2)$ 、 $(0,1/2,1)$ 、 $(1/2,0,1)$ 、 $(1,0,1/2)$ 。

按此顺序连接，每条边位于正方体的一个面内，围成截面六边形。相邻边长均为 $1/\sqrt2$ ，相邻边的内角由数量积求得 $120^\circ$ ，故为正六边形，面积为 $3\sqrt3/4$ 。连棱上交点时不能跨过几何体内部任意连边；截面多边形的每条边必须落在原几何体的一个面上。

展开路径的可达性

把多面体表面上指定相邻面的路径展开到同一平面后，折线长度不小于端点间直线距离。但这段平面直线只有依次穿过约定的公共棱、且每一段均落在对应展开面内时，才对应原表面的可行路径。

若直线穿过某条棱的延长线，或越出面域，则只得到了该展开下的距离下界，不能宣称它可以取到。实际求最短路径时，应比较可能的面序列，逐个检查直线穿越的位置；边界路径也须保留。折叠保持同一面内的距离，却不保证任意平面连线都能折回为规定表面上的路径。

关联阅读

先修：向量运算与基底。

同主题：空间位置关系与平行。