三次函数的对称、极值与零点

三次函数的整体形状由一个二次导函数控制。平移到对称中心后，多项式只剩三次项、一次项和常数项。

平移到对称中心

设 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ，其中 $a\ne0$ 。令

h=-\frac b{3a},\quad k=c-\frac{b^2}{3a},\quad v=f(h).

展开即得 $f(h+t)=at^3+kt+v$ 。因此 $f(h+t)+f(h-t)=2v$ ，图像关于 $(h,v)$ 中心对称；该点处切线斜率为 $k$ 。这由代数展开和一阶导数就能得到。

令 $D=b^2-3ac$ 。若 $D\le0$ ，导函数 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 与 $a$ 同号或为零， $a>0$ 时 $f$ 严格递增， $a<0$ 时严格递减； $D=0$ 时只有一个孤立的导数零点，不产生极值。

若 $D>0$ ，将导数两根按大小记为

u=h-\frac{\sqrt D}{3|a|},\qquad w=h+\frac{\sqrt D}{3|a|}.

于是 $u<w$ 。 $a>0$ 时函数依次递增、递减、递增， $u$ 为极大值点、 $w$ 为极小值点； $a<0$ 时三段单调性与极值类型全部反转。

在闭区间 $[L,U]$ 上求最值，应同时检查两端点以及落在区间中的全部导数零点。不能只任选一个导数零点。

在上节 $D>0$ 的条件下，设 $s=\sqrt D/(3|a|)$ 。因 $k=-3as^2$ ，

f(h-s)=v+2as^3,\qquad f(h+s)=v-2as^3.

两极值点连线的中点为 $(h,v)$ ，斜率为 $-2as^2=2k/3$ 。因此该弦的斜率是中心处切线斜率的 $2/3$ ；两条线都经过中心。

若有两个极值点，记极大值为 $M$ 、极小值为 $m$ （ $m<M$ ）。结合三段严格单调性、连续性和两端走势可知：

若没有两个极值点，则仅有一个互异实根，可能为三重根。

例如 $f(x)=x^3-3x+t$ ，极大值为 $f(-1)=t+2$ ，极小值为 $f(1)=t-2$ 。故 $|t|<2$ 时有三个互异实根， $|t|=2$ 时有两个， $|t|>2$ 时有一个。

写成中心坐标 $F(t)=at^3+kt+v$ ，原横坐标为 $x=h+t$ 。在 $t=u$ 处作切线，曲线与切线纵坐标之差为

F(t)-F(u)-F'(u)(t-u)=a(t-u)^2(t+2u).

若 $u\ne0$ ，切线与曲线的另一个交点横坐标为 $t=-2u$ ；若 $u=0$ ，三个交点按重数合并到对称中心。原坐标中，切点 $x_0$ 与另一交点 $x_3$ 满足 $2x_0+x_3=3h=-b/a$ 。

不同切点 $u,w$ 处斜率相等，当且仅当 $3au^2+k=3aw^2+k$ ，即 $w=-u$ ，两切点关于中心对称。这两条切线确为不同的平行线，因为截距分别为 $v-2au^3$ 与 $v+2au^3$ 。

沿用极值点条件 $k=-3as^2$ 、 $s>0$ 。两极值点的中心坐标是 $-s,s$ ；它们的水平切线分别再交曲线于 $2s,-2s$ 。所以五个横坐标

h-2s,\quad h-s,\quad h,\quad h+s,\quad h+2s

相邻间隔都为 $s$ 。外侧交点的切线斜率为 $3a(2s)^2+k=9as^2=-3k$ 。

两条水平切线与外侧两条竖线围成的矩形，宽 $4s$ ，高 $4|a|s^3$ 。它是正方形当且仅当 $|a|s^2=1$ ，等价于

b^2-3ac=9|a|.

绝对值不能随首项系数的符号省去。

若 $f(x)=m$ 有三个不同实根 $x_1<x_2<x_3$ ，则三根成等差数列当且仅当 $m=f(h)$ 。必要性由根和 $x_1+x_2+x_3=3h$ 给出中间根 $h$ ；充分性由中心坐标方程 $t(at^2+k)=0$ 给出两侧根互为相反数。

若三根按此顺序成等比数列，它们非零，且 $x_2^2=x_1x_3$ 。三根同号，因此和非零，即 $b\ne0$ 。韦达给

\frac ca=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=x_2(x_1+x_2+x_3),\quad x_2=-\frac cb.

代回 $f(x_2)=m$ 得必要关系 $b^3(d-m)=ac^3$ 。使用这个系数关系反推时，仍须验证三个实根不同、非零及所要求的排列顺序。

设 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ， $a\ne0$ ，中心横坐标 $h=-b/(3a)$ ，中心处切线写成

\ell(x)=f(h)+f'(h)(x-h).

给定点 $P(u,v)$ ，以切点横坐标 $t$ 为未知数。切线经过 $P$ 等价于

G(t)=f(t)+f'(t)(u-t)-v=0.

这是首项系数为 $-2a$ 的三次方程，且

G'(t)=f''(t)(u-t)=6a(t-h)(u-t).

若 $u=h$ ，导数为 $-6a(t-h)^2$ ， $G$ 严格单调且两端符号相反，故恰有一条切线。

若 $u\ne h$ ， $G$ 有两个不同极值点 $h,u$ ，对应值为 $\ell(u)-v$ 、 $f(u)-v$ 。于是：

证明由三次函数三段单调性及两端走势得到。等于零时不会两个极值同时为零，因为 $f(u)-\ell(u)=a(u-h)^3\ne0$ 。

最后还需确认不同切点不会给出同一切线。若一条直线同时在不同两点相切，三次多项式与该直线之差将有两个二重根，次数至少为4，矛盾。因此根数确实等于切线条数。